146
6 • Moment cinétique
Selon (6.5.5), ses vecteurs propres sont les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 et ils sont associés
aux valeurs propres (m 1 + m 2 ). Les nombres m 1 et m 2 prennent respectivement des
valeurs de −j 1 à j 1 et de −j 2 à j 2 par saut d’une unité. Leur somme m = m 1 + m 2 peut
donc prendre 2( j 1 + j 2 ) + 1 valeurs distinctes, soit :
−( j 1 + j 2 ) m j 1 + j 2
(6.5.8)
Puisque le nombre de vecteurs de base | j 1 j 2 ; m 1 m 2 est égal à (2j 1 + 1)(2j 2 + 1), on a
4j 1 j 2 valeurs propres m qui sont dégénérées. La représentation D
( j1 j2) = D
( j1)
⊗ D
( j2)
est donc réductible et peut être décomposée en parties irréductibles.
6.5.4 Décomposition de Clebsch-Gordan
La représentation D
( j1)
⊗ D
( j2) peut être décomposée en représentations irréductibles
D
( j) sous la forme :
D
( j1)
⊗ D
( j2) =
j
⊕ a j1 j2 j D
( j)
(6.5.11)
où ⊕ désigne une somme directe.
C’est la décomposition dite de Clebsch-Gordan. Le problème de la détermination
des valeurs possibles de j, pour j 1 et j 2 donnés, se ramène à l’obtention de la décomposition (6.5.11).
a) Caractère de la représentation D
(j 1 )
⊗ D
(j 2 )
Remarquons que les matrices de la représentation D
( j1)
⊗D
( j2) sont les produits tensoriels des matrices de chacune des représentations D
( j1) et D
( j2) . Les matrices R
( j1)
z (g)
et R
( j2)
z (g) sont données par (6.2.35) ; ce sont des matrices diagonales correspondant
à une rotation R (g) d’un angle g autour de l’axe Oz. À cette même rotation correspond, dans la représentation D
( j1)
⊗ D
( j2) , des matrices qui restent diagonales et
dont les éléments sont les (2j 1 + 1)(2j 2 + 1) exponentielles : exp[i(m 1 + m 2 )g], avec
−j 1 m 1 j 1 et −j 2 m 2 j 2 . Le caractère de la représentation D
( j1)
⊗ D
( j2) est
donné par la trace des matrices de cette représentation, soit :
x
( j1 j2) [R (g)] =
j1
m1=−j1
j2
m2=−j2
exp [i(m 1 + m 2 )g]
( 6 .5.12)
La somme ci-dessus peut s’écrire sous la forme suivante qui met en évidence les
caractères de différentes représentations irréductibles D
( j) dont l’expression générale
est donnée par (6.2.36). On a :
x
( j1 j2) [R (g)] =
j1+j2
j=| j1−j2|
j
k=−j
e
ikg =
j1+j2
j=| j1−j2|
x
( j) [R (g)]
(6.5.13)
6 • Moment cinétique
Selon (6.5.5), ses vecteurs propres sont les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 et ils sont associés
aux valeurs propres (m 1 + m 2 ). Les nombres m 1 et m 2 prennent respectivement des
valeurs de −j 1 à j 1 et de −j 2 à j 2 par saut d’une unité. Leur somme m = m 1 + m 2 peut
donc prendre 2( j 1 + j 2 ) + 1 valeurs distinctes, soit :
−( j 1 + j 2 ) m j 1 + j 2
(6.5.8)
Puisque le nombre de vecteurs de base | j 1 j 2 ; m 1 m 2 est égal à (2j 1 + 1)(2j 2 + 1), on a
4j 1 j 2 valeurs propres m qui sont dégénérées. La représentation D
( j1 j2) = D
( j1)
⊗ D
( j2)
est donc réductible et peut être décomposée en parties irréductibles.
6.5.4 Décomposition de Clebsch-Gordan
La représentation D
( j1)
⊗ D
( j2) peut être décomposée en représentations irréductibles
D
( j) sous la forme :
D
( j1)
⊗ D
( j2) =
j
⊕ a j1 j2 j D
( j)
(6.5.11)
où ⊕ désigne une somme directe.
C’est la décomposition dite de Clebsch-Gordan. Le problème de la détermination
des valeurs possibles de j, pour j 1 et j 2 donnés, se ramène à l’obtention de la décomposition (6.5.11).
a) Caractère de la représentation D
(j 1 )
⊗ D
(j 2 )
Remarquons que les matrices de la représentation D
( j1)
⊗D
( j2) sont les produits tensoriels des matrices de chacune des représentations D
( j1) et D
( j2) . Les matrices R
( j1)
z (g)
et R
( j2)
z (g) sont données par (6.2.35) ; ce sont des matrices diagonales correspondant
à une rotation R (g) d’un angle g autour de l’axe Oz. À cette même rotation correspond, dans la représentation D
( j1)
⊗ D
( j2) , des matrices qui restent diagonales et
dont les éléments sont les (2j 1 + 1)(2j 2 + 1) exponentielles : exp[i(m 1 + m 2 )g], avec
−j 1 m 1 j 1 et −j 2 m 2 j 2 . Le caractère de la représentation D
( j1)
⊗ D
( j2) est
donné par la trace des matrices de cette représentation, soit :
x
( j1 j2) [R (g)] =
j1
m1=−j1
j2
m2=−j2
exp [i(m 1 + m 2 )g]
( 6 .5.12)
La somme ci-dessus peut s’écrire sous la forme suivante qui met en évidence les
caractères de différentes représentations irréductibles D
( j) dont l’expression générale
est donnée par (6.2.36). On a :
x
( j1 j2) [R (g)] =
j1+j2
j=| j1−j2|
j
k=−j
e
ikg =
j1+j2
j=| j1−j2|
x
( j) [R (g)]
(6.5.13)