6.5 Composition des moments cinétiques
145
Le générateur infinitésimal J
( j1 j2)
x
opérant sur l’espace produit tensoriel E
( j1 j2) a
donc pour expression :
J
( j1 j2)
x
= J
( j1)
x
⊗ 1 1
( j2) + 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
x
(6.5.3)
Les deux autres générateurs infinitésimaux J
( j1 j2)
y
et J
( j1 j2)
z
ont des expressions analogues où seuls les indices inférieurs sont changés.
Les générateurs infinitésimaux opérant sur les espaces E
( j1) et E
( j2) vérifient les
relations de commutation du moment cinétique ; il en est donc de même des opérateurs J
( j1 j2)
x
, J
( j1 j2)
y
et J
( j1 j2)
z
. Ces derniers sont donc des opérateurs de moment cinétique, agissant dans l’espace E
( j1 j2) , et sont appelés les opérateurs de moment
cinétique total pour un système composé de deux parties de moments cinétiques
respectifs J 1 et J 2 .
6.5.3 Base de E E E
(j 1 j 2 )
Notons | j 1 m 1 et | j 2 m 2 les vecteurs des bases canoniques respectives des espaces
E
( j1) et E
( j2) ; rappelons que ces vecteurs sont des vecteurs propres respectifs de
J
( j1)
z
et J
( j2)
z . Les vecteurs de base de l’espace E
( j1 j2) sont les produits tensoriels
| j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2 qu’on note | j 1 j 2 ; m 1 m 2 :
| j 1 j 2 ; m 1 m 2 = | j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2
(6.5.4)
Montrons que les vecteurs de base | j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont des vecteurs propres communs
des opérateurs J
( j1)
z
⊗ 1 1
( j2) et 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
z . On a en effet :
(J
( j1)
z
⊗ 1 1
( j2) )| j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2 = J
( j1)
z | j 1 m 1 ⊗ 1 1
( j2)
| j 2 m 2
= m 1 | j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2
= m 1 | j 1 j 2 ; m 1 m 2
(6.5.5)
Un calcul analogue montre que | j 1 j 2 ; m 1 m 2 est un vecteur propre de l’opérateur
1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
z
associé à la valeur propre m 2 .
À partir de l’opérateur J
2
1 = (J
( j1)
x )
2 + (J
( j1)
y )
2 + (J
( j1)
z )
2 , on peut former l’opérateur
J
2
1 ⊗ 1 1
( j2) agissant sur les vecteurs de l’espace E
( j1 j2) . Utilisant une démonstration
analogue à (6.5.5), on montre que les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont des vecteurs
propres de J
2
1 ⊗ 1 1
( j2) , soit :
J
2
1 ⊗ 1 1
( j2)
| j 1 j 2 ; m 1 m 2 =
2 j 1 ( j 1 + 1)| j 1 j 2 ; m 1 m 2
(6.5.6)
Un calcul analogue est également valable pour l’opérateur 1 1
( j1)
⊗ J
2
2 ; les vecteurs
| j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont ses vecteurs propres associés à la valeur propre
2 j 2 ( j 2 + 1).
➤ Valeurs et vecteurs propres de J
( j 1 j 2 )
z
Le générateur infinitésimal J
( j1 j2)
z
a pour expression :
J
( j1 j2)
z
= J
( j1)
z
⊗ 1 1
( j2) + 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
z
(6.5.7)
145
Le générateur infinitésimal J
( j1 j2)
x
opérant sur l’espace produit tensoriel E
( j1 j2) a
donc pour expression :
J
( j1 j2)
x
= J
( j1)
x
⊗ 1 1
( j2) + 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
x
(6.5.3)
Les deux autres générateurs infinitésimaux J
( j1 j2)
y
et J
( j1 j2)
z
ont des expressions analogues où seuls les indices inférieurs sont changés.
Les générateurs infinitésimaux opérant sur les espaces E
( j1) et E
( j2) vérifient les
relations de commutation du moment cinétique ; il en est donc de même des opérateurs J
( j1 j2)
x
, J
( j1 j2)
y
et J
( j1 j2)
z
. Ces derniers sont donc des opérateurs de moment cinétique, agissant dans l’espace E
( j1 j2) , et sont appelés les opérateurs de moment
cinétique total pour un système composé de deux parties de moments cinétiques
respectifs J 1 et J 2 .
6.5.3 Base de E E E
(j 1 j 2 )
Notons | j 1 m 1 et | j 2 m 2 les vecteurs des bases canoniques respectives des espaces
E
( j1) et E
( j2) ; rappelons que ces vecteurs sont des vecteurs propres respectifs de
J
( j1)
z
et J
( j2)
z . Les vecteurs de base de l’espace E
( j1 j2) sont les produits tensoriels
| j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2 qu’on note | j 1 j 2 ; m 1 m 2 :
| j 1 j 2 ; m 1 m 2 = | j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2
(6.5.4)
Montrons que les vecteurs de base | j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont des vecteurs propres communs
des opérateurs J
( j1)
z
⊗ 1 1
( j2) et 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
z . On a en effet :
(J
( j1)
z
⊗ 1 1
( j2) )| j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2 = J
( j1)
z | j 1 m 1 ⊗ 1 1
( j2)
| j 2 m 2
= m 1 | j 1 m 1 ⊗ | j 2 m 2
= m 1 | j 1 j 2 ; m 1 m 2
(6.5.5)
Un calcul analogue montre que | j 1 j 2 ; m 1 m 2 est un vecteur propre de l’opérateur
1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
z
associé à la valeur propre m 2 .
À partir de l’opérateur J
2
1 = (J
( j1)
x )
2 + (J
( j1)
y )
2 + (J
( j1)
z )
2 , on peut former l’opérateur
J
2
1 ⊗ 1 1
( j2) agissant sur les vecteurs de l’espace E
( j1 j2) . Utilisant une démonstration
analogue à (6.5.5), on montre que les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont des vecteurs
propres de J
2
1 ⊗ 1 1
( j2) , soit :
J
2
1 ⊗ 1 1
( j2)
| j 1 j 2 ; m 1 m 2 =
2 j 1 ( j 1 + 1)| j 1 j 2 ; m 1 m 2
(6.5.6)
Un calcul analogue est également valable pour l’opérateur 1 1
( j1)
⊗ J
2
2 ; les vecteurs
| j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont ses vecteurs propres associés à la valeur propre
2 j 2 ( j 2 + 1).
➤ Valeurs et vecteurs propres de J
( j 1 j 2 )
z
Le générateur infinitésimal J
( j1 j2)
z
a pour expression :
J
( j1 j2)
z
= J
( j1)
z
⊗ 1 1
( j2) + 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
z
(6.5.7)