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6 • Moment cinétique
6.5 COMPOSITION DES MOMENTS CINÉTIQUES
6.5.1 Position du problème
Considérons un système formé de deux parties de moments cinétiques respectifs J 1 et
J 2 . S’il n’existe pas d’interaction entre les parties, la loi de conservation du moment
cinétique joue pour chacune des parties et le moment total J du système tout entier
peut être considéré comme la somme J = J 1 + J 2 .
Lorsqu’une interaction entre parties existe, même si elle est relativement faible,
les lois de conservation de J 1 et J 2 ne sont plus strictement observées. Cependant
les nombres j 1 et j 2 , déterminant les valeurs propres de J
2
1 et J
2
2 , restent des nombres
quantiques intéressants pour la description approchée de l’état du système ainsi que
nous allons le voir.
Plus précisément, connaissant une base de l’espace des états formée de vecteurs
propres communs à J
2
1 , J 1z , J
2
2 , J 2z , nous chercherons à construire à partir de la base
précédente une nouvelle base constituée de vecteurs propres communs à J
2 et J z .
C’est le problème de la composition des moments cinétiques .
L’intérêt de cette nouvelle base apparaîtra au cours de ses utilisations. Auparavant,
cherchons quels sont les vecteurs propres de la composante J z de l’opérateur J.
6.5.2 Opérateur de moment cinétique total
Les espaces formés des vecteurs propres des moments cinétiques J 1 et J 2 sont des
espaces E
( j1) et E
( j2) des représentations irréductibles du groupe SO(3). Nous allons
étudier la composition de ces représentations.
Soient deux représentations irréductibles D
( j1) et D
( j2) du groupe SO(3) ayant pour
espaces de représentation respectifs E
( j1) et E
( j2) . Notons E
( j1 j2) = E
( j1)
⊗ E
( j2)
l’espace produit direct sur lequel se réalise la représentation D
( j1 j2) = D
( j1)
⊗ D
( j2) .
Cherchons les opérateurs infinitésimaux de la représentation D
( j1 j2) en développant
en série, au voisinage de l’opérateur unité, les opérateurs de rotation R
( j1) et R
( j2) qui
opèrent respectivement sur les espaces E
( j1) et E
( j2) .
Notons R
( j1)
x (a) l’opérateur de rotation représentant une rotation autour de l’axe
Ox d’un angle a infiniment petit au voisinage de a = 0. Selon la formule (6.2.32),
on a :
R
( j1)
x (a) = 1 1
( j1)
−
i a
J
( j1)
x
(6.5.1)
On a une formule analogue pour R
( j2)
x (a) qui est un opérateur agissant dans l’espace
E
( j2) . L’opérateur R
( j1 j2)
x
(a) = R
( j1)
x (a)⊗R
( j2)
x (a), agissant sur les vecteurs de l’espace
E
( j1 j2) , a pour développement, en se limitant au premier ordre en a :
R
( j1 j2)
x
(a) =
1 1
( j1)
−
ia
J
( j1)
x
⊗
1 1
( j2)
−
ia
J
( j2)
x
= 1 1
( j1)
⊗ 1 1
( j2)
−
i a
(J
( j1)
x
⊗ 1 1
( j2) + 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
x )
(6.5.2)
6 • Moment cinétique
6.5 COMPOSITION DES MOMENTS CINÉTIQUES
6.5.1 Position du problème
Considérons un système formé de deux parties de moments cinétiques respectifs J 1 et
J 2 . S’il n’existe pas d’interaction entre les parties, la loi de conservation du moment
cinétique joue pour chacune des parties et le moment total J du système tout entier
peut être considéré comme la somme J = J 1 + J 2 .
Lorsqu’une interaction entre parties existe, même si elle est relativement faible,
les lois de conservation de J 1 et J 2 ne sont plus strictement observées. Cependant
les nombres j 1 et j 2 , déterminant les valeurs propres de J
2
1 et J
2
2 , restent des nombres
quantiques intéressants pour la description approchée de l’état du système ainsi que
nous allons le voir.
Plus précisément, connaissant une base de l’espace des états formée de vecteurs
propres communs à J
2
1 , J 1z , J
2
2 , J 2z , nous chercherons à construire à partir de la base
précédente une nouvelle base constituée de vecteurs propres communs à J
2 et J z .
C’est le problème de la composition des moments cinétiques .
L’intérêt de cette nouvelle base apparaîtra au cours de ses utilisations. Auparavant,
cherchons quels sont les vecteurs propres de la composante J z de l’opérateur J.
6.5.2 Opérateur de moment cinétique total
Les espaces formés des vecteurs propres des moments cinétiques J 1 et J 2 sont des
espaces E
( j1) et E
( j2) des représentations irréductibles du groupe SO(3). Nous allons
étudier la composition de ces représentations.
Soient deux représentations irréductibles D
( j1) et D
( j2) du groupe SO(3) ayant pour
espaces de représentation respectifs E
( j1) et E
( j2) . Notons E
( j1 j2) = E
( j1)
⊗ E
( j2)
l’espace produit direct sur lequel se réalise la représentation D
( j1 j2) = D
( j1)
⊗ D
( j2) .
Cherchons les opérateurs infinitésimaux de la représentation D
( j1 j2) en développant
en série, au voisinage de l’opérateur unité, les opérateurs de rotation R
( j1) et R
( j2) qui
opèrent respectivement sur les espaces E
( j1) et E
( j2) .
Notons R
( j1)
x (a) l’opérateur de rotation représentant une rotation autour de l’axe
Ox d’un angle a infiniment petit au voisinage de a = 0. Selon la formule (6.2.32),
on a :
R
( j1)
x (a) = 1 1
( j1)
−
i a
J
( j1)
x
(6.5.1)
On a une formule analogue pour R
( j2)
x (a) qui est un opérateur agissant dans l’espace
E
( j2) . L’opérateur R
( j1 j2)
x
(a) = R
( j1)
x (a)⊗R
( j2)
x (a), agissant sur les vecteurs de l’espace
E
( j1 j2) , a pour développement, en se limitant au premier ordre en a :
R
( j1 j2)
x
(a) =
1 1
( j1)
−
ia
J
( j1)
x
⊗
1 1
( j2)
−
ia
J
( j2)
x
= 1 1
( j1)
⊗ 1 1
( j2)
−
i a
(J
( j1)
x
⊗ 1 1
( j2) + 1 1
( j1)
⊗ J
( j2)
x )
(6.5.2)