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6 • Moment cinétique
O du référentiel. On note respetivement r 1 et r 2 les distances des masses m 1 et m 2 à
l’origine O. Par définition du centre de masse, on a :
m 1 r 1 = m 2 r 2
(6.4.1)
ce qui permet d’obtenir :
r 1
m 2
=
r 2
m 1
=
r 1 + r 2
m 1 + m 2
=
r
m 1 + m 2
(6.4.2)
Le moment d’inertie de la molécule, par rapport à O, est I = m 1 r
2
1 + m 2 r
2
2 . Introduisant la masse réduite m = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) et tenant compte de (6.4.2), le moment
d’inertie s’écrit :
I = mr
2
(6.4.3)
➤ Équation de Schrödinger
Lorsque aucune force extérieure n’agit sur la molécule, celle-ci est dans un état stationnaire de rotation à vitesse angulaire v constante. Le rotateur rigide tourne autour
du point O dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique
− →
L tel que :
|
−
→
L | = I v = mr
2 v
(6.4.4)
Dans le référentiel du centre de masse, l’hamiltonien H du système se réduit à son
énergie cinétique de rotation, soit :
H =
1
2
I v
2 =
− →
L
2
2I
=
− →
L
2
2mr 2
(6.4.5)
L’opérateur hamiltonien H correspondant à son expression classique H est donc égal
à :
H =
L
2
2I
=
L
2
2mr 2
(6.4.6)
L’équation de Schrödinger décrivant les états stationnaires |c de rotation de la molécule s’écrit :
L
2
2I
|c = E|c
(6.4.7)
C’est l’équation aux valeurs propres de l’opérateur L
2 /2I. Les valeurs propres de L
2
sont égales à
2 l(l + 1), d’où les niveaux d’énergie rotationnelle :
E l =
2 l(l + 1)
2I
(6.4.8)
En réalisation-|r, les vecteurs propres de L
2 sont les harmoniques sphériques.