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6 • Moment cinétique
6.3.2 Fonctions propres communes de L z et L L L
2
Les fonctions propres de l’opérateur L z d’une particule quantique, données par
(6.1.19), sont de la forme : f (r, u)e
imw où m est un entier. Quant aux fonctions
propres de L
2 , elles vérifient l’équation :
L
2 c(r, u, w) =
2 l(l + 1)c(r, u, w)
( 6 .3.7)
qui est un cas particulier de l’équation aux valeurs propres (6.2.8) de l’opérateur J
2 .
Les expressions (6.3.2) de L z et (6.3.6) de L
2 montrent que la variable r n’apparaît
pas dans les opérateurs différentiels. Les fonctions propres c(r, u, w) peuvent donc
être mises sous la forme :
c(r, u, w) = R(r)Y lm (u, w)
( 6 .3.8)
où les fonctions Y lm (u, w) sont des fonctions propres communes à L
2 et L z , correspondant respectivement aux valeurs propres
2 l(l + 1) et m. Les fonctions propres
f (r, u)e
imw de L z montrent que Y lm (u, w) s’écrit :
Y lm (u, w) = F lm (u)e
imw
(6.3.9)
Utilisons l’expression (6.3.6) de l’opérateur L
2 dans l’équation aux valeurs propres
(6.3.7), puis substituons dans cette équation c(r, u, w) par la fonction R(r)Y lm (u, w) ;
on obtient l’équation :
1
sin u
d
du
sin u
d
du
−
m
2
sin
2 u
+ l(l + 1)
F lm (u) = 0
( 6 .3.10)
C’est une équation classique en théorie des fonctions sphériques. Elle a des solutions
finies et univoques pour les entiers positifs l tels que :
−l m l
(6.3.11)
ce qui est en accord avec la relation générale (6.2.13). Ces solutions sont appelées
les polynômes de Legendre associés et notées P
m
l (cos u).
➤ Harmoniques sphériques
Les fonctions F lm (u) qui figurent dans l’équation (6.3.10) peuvent s’obtenir en utilisant l’égalité (6.2.17) qui, pour le moment orbital, s’écrit : L + Y ll (u, w) = 0. Utilisant
l’expression (6.3.4) de L + , on obtient l’équation :
d
du
− l cot u
F ll (u) = 0
( 6 .3.12)
Cette équation différentielle a pour solution générale :
F ll (u) = C l (sin u)
l
(6.3.13)
où C l est une constante arbitraire. Déterminons cette constante en imposant à
Y ll (u, w) d’être normée ; il vient :
2p
0
dw
p
0
|Y ll (u, w)|
2 sin u du = 1
( 6 .3.14)
6 • Moment cinétique
6.3.2 Fonctions propres communes de L z et L L L
2
Les fonctions propres de l’opérateur L z d’une particule quantique, données par
(6.1.19), sont de la forme : f (r, u)e
imw où m est un entier. Quant aux fonctions
propres de L
2 , elles vérifient l’équation :
L
2 c(r, u, w) =
2 l(l + 1)c(r, u, w)
( 6 .3.7)
qui est un cas particulier de l’équation aux valeurs propres (6.2.8) de l’opérateur J
2 .
Les expressions (6.3.2) de L z et (6.3.6) de L
2 montrent que la variable r n’apparaît
pas dans les opérateurs différentiels. Les fonctions propres c(r, u, w) peuvent donc
être mises sous la forme :
c(r, u, w) = R(r)Y lm (u, w)
( 6 .3.8)
où les fonctions Y lm (u, w) sont des fonctions propres communes à L
2 et L z , correspondant respectivement aux valeurs propres
2 l(l + 1) et m. Les fonctions propres
f (r, u)e
imw de L z montrent que Y lm (u, w) s’écrit :
Y lm (u, w) = F lm (u)e
imw
(6.3.9)
Utilisons l’expression (6.3.6) de l’opérateur L
2 dans l’équation aux valeurs propres
(6.3.7), puis substituons dans cette équation c(r, u, w) par la fonction R(r)Y lm (u, w) ;
on obtient l’équation :
1
sin u
d
du
sin u
d
du
−
m
2
sin
2 u
+ l(l + 1)
F lm (u) = 0
( 6 .3.10)
C’est une équation classique en théorie des fonctions sphériques. Elle a des solutions
finies et univoques pour les entiers positifs l tels que :
−l m l
(6.3.11)
ce qui est en accord avec la relation générale (6.2.13). Ces solutions sont appelées
les polynômes de Legendre associés et notées P
m
l (cos u).
➤ Harmoniques sphériques
Les fonctions F lm (u) qui figurent dans l’équation (6.3.10) peuvent s’obtenir en utilisant l’égalité (6.2.17) qui, pour le moment orbital, s’écrit : L + Y ll (u, w) = 0. Utilisant
l’expression (6.3.4) de L + , on obtient l’équation :
d
du
− l cot u
F ll (u) = 0
( 6 .3.12)
Cette équation différentielle a pour solution générale :
F ll (u) = C l (sin u)
l
(6.3.13)
où C l est une constante arbitraire. Déterminons cette constante en imposant à
Y ll (u, w) d’être normée ; il vient :
2p
0
dw
p
0
|Y ll (u, w)|
2 sin u du = 1
( 6 .3.14)