6.3 Fonctions propres du moment cinétique orbital
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6.3 FONCTIONS PROPRES DU MOMENT CINÉTIQUE ORBITAL
Les vecteurs propres communs | jm des observables J z et J
2 vont être explicitement
déterminés dans le cas où J z et J
2 sont des opérateurs relatifs au moment cinétique
orbital d’une particule. Avec les notations employées au cours de la première partie
de ce chapitre, nous avons : J z = L z , J
2 = L
2 . Nous allons déterminer, en réalisationr, les vecteurs propres communs de L z et L
2 en utilisant les coordonnées sphériques.
6.3.1 Opérateurs de moment cinétique orbital en coordonnées
sphériques
Le calcul des opérateurs L x , L y , L z en coordonnées sphériques r, u, w s’effectue en
utilisant les expressions usuelles des coordonnées cartésiennes x, y, z :
x = r sin u cos w ; y = r sin u sin w ; z = r cos u
(6.3.1)
Partant des expressions des opérateurs L x , L y , L z en coordonnées cartésiennes, un
calcul standard de changement de variables (voir exercice 6.3) nous donne :
L x = i
sin w
∂
∂u
+ cot u cos w
∂
∂w
L y = −i
cos w
∂
∂u
− cot u sin w
∂
∂w
; L z = −i
∂
∂w
(6.3.2)
Les opérateurs L + et L − sont définis, comme en (6.2.4), par :
L + = L x + iL y ; L − = L x − iL y
(6.3.3)
Les expressions de L x et L y en coordonnées sphériques, données par (6.3.2), permettent d’obtenir :
L ± = e
±iw
±
∂
∂u
+ i cot u
∂
∂w
(6.3.4)
Compte tenu de (6.2.7), l’opérateur L
2 peut s’écrire sous la forme :
L
2 = L + L − + L
2
z − L z = L − L + + L
2
z + L z
(6.3.5)
Substituant les expressions de L + et L − données par (6.3.4) dans une des deux relations (6.3.5), on obtient l’opérateur du carré du moment cinétique :
L
2 = −
2
1
sin
2 u
∂
2
∂w 2 +
1
sin u
∂
∂u
(sin u
∂
∂u
)
(6.3.6)
C’est, à un facteur près, le terme angulaire de l’opérateur de Laplace en coordonnées
sphériques.