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6 • Moment cinétique
nous donne, après sommation, la matrice :
R
( j)
z (g) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
e
i jg
0
...
0
0 e
i( j−1)g ...
0
...
...
...
...
0
0
0 e −i jg
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(6.2.35)
La trace de cette matrice est obtenue en faisant la somme de ses éléments diagonaux :
Tr R
( j)
z (g) =
j
k=−j
e
ikg =
sin[( j + (1/2))g]
sin(g/2)
(6.2.36)
L’axe Oz étant arbitraire, toutes les rotations d’un angle g autour d’un axe quelconque, passant par l’origine, ont une matrice de représentation D
(j) dont la trace est
donnée par (6.2.36).
6.2.6 Base standard de l’espace des états
Pour un système physique donné ayant un moment cinétique, les opérateurs J
2 et
J z ne forment pas, en général, un SCOC. Les états quantiques d’un système devront
alors être caractérisés par un nombre quantique supplémentaire que nous noterons k.
Les vecteurs d’état du système seront donc notés |kjm.
Considérons des vecteurs |kjm qui, par hypothèse, sont des vecteurs propres communs de J
2 et J z :
J
2
|kjm =
2 j( j + 1)|kjm ; J z |kjm = m|kjm
(6.2.37)
et dont l’action des opérateurs J + et J − est donnée par :
J ± |kjm =
j( j + 1) − m(m ± 1)|kj, m ± 1
(6.2.38)
De plus, ces vecteurs sont tels que :
k
jm|kjm = d k k
(6.2.39)
Les vecteurs propres de J
2 et J z correspondant à des valeurs j différentes sont orthogonaux entre eux. Les valeurs de k et j sont déterminées par le système physique
donné. Par définition, nous appellerons base standard de l’espace des états, une base
orthonormée vérifiant les relations (6.2.37), (6.2.38) et (6.2.39).
Dans la base standard, les matrices des opérateurs de moment cinétique sont particulièrement simples, ce qui fait l’intérêt de cette base. Les éléments matriciels des
matrices J z et J ± sont donnés par :
k
j
m
|J z |kjm = md k k d j j d m m
(6.2.40)
k
j
m
|J ± |kjm =
j( j + 1) − m(m ± 1)d k k d j j d m ,m±1
(6.2.41)
6 • Moment cinétique
nous donne, après sommation, la matrice :
R
( j)
z (g) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
e
i jg
0
...
0
0 e
i( j−1)g ...
0
...
...
...
...
0
0
0 e −i jg
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(6.2.35)
La trace de cette matrice est obtenue en faisant la somme de ses éléments diagonaux :
Tr R
( j)
z (g) =
j
k=−j
e
ikg =
sin[( j + (1/2))g]
sin(g/2)
(6.2.36)
L’axe Oz étant arbitraire, toutes les rotations d’un angle g autour d’un axe quelconque, passant par l’origine, ont une matrice de représentation D
(j) dont la trace est
donnée par (6.2.36).
6.2.6 Base standard de l’espace des états
Pour un système physique donné ayant un moment cinétique, les opérateurs J
2 et
J z ne forment pas, en général, un SCOC. Les états quantiques d’un système devront
alors être caractérisés par un nombre quantique supplémentaire que nous noterons k.
Les vecteurs d’état du système seront donc notés |kjm.
Considérons des vecteurs |kjm qui, par hypothèse, sont des vecteurs propres communs de J
2 et J z :
J
2
|kjm =
2 j( j + 1)|kjm ; J z |kjm = m|kjm
(6.2.37)
et dont l’action des opérateurs J + et J − est donnée par :
J ± |kjm =
j( j + 1) − m(m ± 1)|kj, m ± 1
(6.2.38)
De plus, ces vecteurs sont tels que :
k
jm|kjm = d k k
(6.2.39)
Les vecteurs propres de J
2 et J z correspondant à des valeurs j différentes sont orthogonaux entre eux. Les valeurs de k et j sont déterminées par le système physique
donné. Par définition, nous appellerons base standard de l’espace des états, une base
orthonormée vérifiant les relations (6.2.37), (6.2.38) et (6.2.39).
Dans la base standard, les matrices des opérateurs de moment cinétique sont particulièrement simples, ce qui fait l’intérêt de cette base. Les éléments matriciels des
matrices J z et J ± sont donnés par :
k
j
m
|J z |kjm = md k k d j j d m m
(6.2.40)
k
j
m
|J ± |kjm =
j( j + 1) − m(m ± 1)d k k d j j d m ,m±1
(6.2.41)