6.2 Opérateurs de moment cinétique
137
Pour j quelconque, on obtient pour expression de la matrice J
( j)
z de la représentation D
( j) :
J
( j)
z =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−j
0
... 0
0 −j + 1 ... 0
...
...
... ...
0
0
... j
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(6.2.31)
C’est une matrice diagonale dont les éléments matriciels sont les valeurs propres de
J
( j)
z .
6.2.5 Rotation infinitésimale et rotation finie
a) Rotation infinitésimale
Utilisons les résultats précédents pour déterminer l’opérateur de rotation infinitésimale R u (du), au voisinage de l’opérateur unité. Pour cela, il suffit de substituer au
vecteur L qui figure dans la formule (6.1.7), le vecteur J d’où :
R u (du) = 1 1 −
i du
(u·J)
( 6 .2.32)
où J est le vecteur ayant pour composantes les opérateurs J x , J y , J z .
b) Rotation finie
Pour obtenir l’expression de l’opérateur de rotation R u (u) d’un angle u, au voisinage
de l’opérateur unité, on procède de manière analogue à la rotation infinitésimale dans
la formule (5.5.18), d’où :
R u (u) = exp
−
iu
(u x J x + u y J y + u z J z )
= exp
−
iu
u·J
(6.2.33)
c) Rotation autour de l’axe Oz
Considérons une rotation d’un angle g autour de l’axe Oz et notons R
( j)
z (g) la matrice de rotation correspondante de la représentation D
( j) . L’expression (6.2.33) nous
donne :
R
( j)
z (g) = exp(−igJ
( j)
z / )
( 6 .2.34)
La matrice infinitésimale J
( j)
z est une matrice diagonale, donnée par (6.2.31). Toutes
les puissances de cette matrice sont donc diagonales et leurs éléments matriciels
s’obtiennent aisément. Le développement de l’exponentielle qui figure dans (6.2.34)