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6 • Moment cinétique
b) Matrices des opérateurs J x , J y , J z
Les éléments matriciels donnés par (6.2.24) permettent d’obtenir aisément les éléments matriciels de J x et J y en combinant ceux de J + et J − . On obtient :
jm
|J x | j, m
=
2
×
j( j + 1) − m(m + 1)d m ,m+1 +
j( j + 1) − m(m − 1)d m ,m−1
(6.2.25)
jm
|J y | j, m
=
−i
2
×
j( j + 1) − m(m + 1)d m ,m+1 −
j( j + 1) − m(m − 1)d m ,m−1
(6.2.26)
Les matrices J
( j)
x et J
( j)
y n’ont d’éléments non nuls qu’immédiatement au-dessus et
au-dessous de la diagonale principale ; J
(j)
x est symétrique et réelle ; J
( j)
y est antisymétrique et imaginaire pure. On a d’autre part :
jm
|J z | j, m = md m m
(6.2.27)
La matrice J
( j)
z est une matrice diagonale dont les éléments matriciels sont les valeurs
propres de l’opérateur J z .
c) Exemples de matrices
Les relations (6.2.25), (6.2.26) et (6.2.27) permettent d’écrire explicitement les matrices d’une représentation D
( j) .
Pour j = 1/2, l’espace de représentation E
(1/2) est de dimension deux et m
prend les valeurs ±1/2. Si l’on prend les vecteurs de base dans l’ordre |1/2, 1/2,
|1/2, −1/2 pour calculer les éléments matriciels, on obtient :
J
(1/2)
x
=
2
0 1
1 0
; J
(1/2)
y
=
2
0 −i
i 0
; J
(1/2)
z
=
2
⎡
⎣
1 0
0 −1
⎤
⎦ (6.2.28)
On appelle matrices de Pauli, les matrices suivantes :
s x =
0 1
1 0
; s y =
0 −i
i 0
; s z =
1 0
0 −1
(6.2.29)
Nous verrons que les matrices de Pauli s’introduisent de manière fondamentale en
mécanique quantique. On a les relations :
J
(1/2)
x
=
2
s x ; J
(1/2)
y
=
2
s y ; J
(1/2)
z
=
2
s z
(6.2.30)
Les matrices (6.2.28) sont, à un facteur multiplicatif près, celles de la représentation
D
(1/2) du groupe SO(3) des rotations dans l’espace à trois dimensions.