6.2 Opérateurs de moment cinétique
135
6.2.4 Représentations matricielles irréductibles de SO(3)
a) Matrices des opérateurs J + et J −
Considérons un espace de représentation E
( j) de SO(3) et déterminons les éléments
matriciels des opérateurs J + et J − sur la base canonique de E
( j) . Pour cela, utilisons
la relation (6.2.14) qui montre que J ± | jm est un vecteur propre de J z pour la valeur
propre (m ± 1). Notons | jm et | j, m + 1 les vecteurs propres de norme unité de J z
associés respectivement aux valeurs propres m et m + 1. Puisque J + | jm est vecteur
propre de J z , il est proportionnel à | j, m + 1, soit :
J + | jm = l| j, m + 1
(6.2.19)
Pour obtenir le coefficient l, calculons le carré de la norme du vecteur J + | jm ; il
vient :
J + | jm
2 = |l|
2
j, m + 1| j, m + 1 = |l|
2
(6.2.20)
La relation (6.2.9) nous donne le carré de la norme de J + | jm, soit :
|l|
2 =
2 [ j( j + 1) − m(m + 1)]
(6.2.21)
Choisissons la valeur positive de la racine carrée puisque le facteur de phase des états
quantiques est arbitraire. On obtient :
l =
j( j + 1) − m(m + 1)
(6.2.22)
Un calcul analogue peut être fait pour J − . Finalement, l’action des opérateurs J + et
J − sur les vecteurs de la base canonique s’écrit :
J ± | jm =
j( j + 1) − m(m ± 1) | j, m ± 1
(6.2.23)
Les opérateurs J z et J
2 étant hermitiens, leurs vecteurs propres qui correspondent
à des valeurs propres m différentes sont orthogonaux entre eux. Les vecteurs | jm
et | jm
étant orthonormés, les éléments matriciels de J + et J − calculés sur la base
canonique sont :
jm
|J ± | j, m =
j( j + 1) − m(m ± 1)d m ,m±1
(6.2.24)
avec m et m
variant de −j à j. Les valeurs possibles de j dépendent du système
physique considéré.
Notons par un indice supérieur j les matrices des opérateurs déterminées sur la
base canonique de l’espace de représentation E
( j) . Ainsi, par exemple, l’opérateur J x
est représenté sur cette base par la matrice notée J
( j)
x .
Selon (6.2.24), la matrice J
( j)
+ n’a d’éléments non nuls qu’immédiatement audessus de la diagonale principale ; la matrice J
( j)
− , au-dessous de cette diagonale.
135
6.2.4 Représentations matricielles irréductibles de SO(3)
a) Matrices des opérateurs J + et J −
Considérons un espace de représentation E
( j) de SO(3) et déterminons les éléments
matriciels des opérateurs J + et J − sur la base canonique de E
( j) . Pour cela, utilisons
la relation (6.2.14) qui montre que J ± | jm est un vecteur propre de J z pour la valeur
propre (m ± 1). Notons | jm et | j, m + 1 les vecteurs propres de norme unité de J z
associés respectivement aux valeurs propres m et m + 1. Puisque J + | jm est vecteur
propre de J z , il est proportionnel à | j, m + 1, soit :
J + | jm = l| j, m + 1
(6.2.19)
Pour obtenir le coefficient l, calculons le carré de la norme du vecteur J + | jm ; il
vient :
J + | jm
2 = |l|
2
j, m + 1| j, m + 1 = |l|
2
(6.2.20)
La relation (6.2.9) nous donne le carré de la norme de J + | jm, soit :
|l|
2 =
2 [ j( j + 1) − m(m + 1)]
(6.2.21)
Choisissons la valeur positive de la racine carrée puisque le facteur de phase des états
quantiques est arbitraire. On obtient :
l =
j( j + 1) − m(m + 1)
(6.2.22)
Un calcul analogue peut être fait pour J − . Finalement, l’action des opérateurs J + et
J − sur les vecteurs de la base canonique s’écrit :
J ± | jm =
j( j + 1) − m(m ± 1) | j, m ± 1
(6.2.23)
Les opérateurs J z et J
2 étant hermitiens, leurs vecteurs propres qui correspondent
à des valeurs propres m différentes sont orthogonaux entre eux. Les vecteurs | jm
et | jm
étant orthonormés, les éléments matriciels de J + et J − calculés sur la base
canonique sont :
jm
|J ± | j, m =
j( j + 1) − m(m ± 1)d m ,m±1
(6.2.24)
avec m et m
variant de −j à j. Les valeurs possibles de j dépendent du système
physique considéré.
Notons par un indice supérieur j les matrices des opérateurs déterminées sur la
base canonique de l’espace de représentation E
( j) . Ainsi, par exemple, l’opérateur J x
est représenté sur cette base par la matrice notée J
( j)
x .
Selon (6.2.24), la matrice J
( j)
+ n’a d’éléments non nuls qu’immédiatement audessus de la diagonale principale ; la matrice J
( j)
− , au-dessous de cette diagonale.