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6 • Moment cinétique
6.2.3 Représentations irréductibles de SO(3)
Partons d’un vecteur propre déterminé, | jm, de J z . Pour j fixé, J z possède (2j + 1)
vecteurs propres : | j, −j, J + | j, −j, ..., J
2j
+ | j, −j. L’opérateur J z étant hermitien, ces
vecteurs sont orthogonaux entre eux et donc linéairement indépendants. Ils peuvent
donc former une base d’un espace vectoriel que nous noterons E
( j) et qui a pour
dimension (2j + 1) ; cette base est appelée la base canonique de l’espace E
( j) . Cet
espace peut servir d’espace de représentation pour le groupe SO(3) ; la représentation
ainsi obtenue est notée D
( j) . Le nombre j est appelé le poids de cette représentation.
a) Action des opérateurs de rotation sur la base canonique
Montrons que tous les vecteurs de la base canonique de E
( j) sont transformés entre
eux par les opérateurs de rotation J + et J − . En effet, ces opérateurs font passer d’un
vecteur à un autre de la base par saut d’une unité . De plus, l’application de J + au
vecteur | jj donne le vecteur nul :
J + | jj = 0
( 6 .2.17)
puisque le carré de la norme de J + | jj est nul selon la formule (6.2.9) et que la norme
d’un vecteur d’un espace de Hilbert est nulle si et seulement si ce vecteur est nul.
Un même raisonnement s’applique au vecteur | j, −j sur lequel l’action de J −
donne également le vecteur nul, soit :
J − | j, −j = 0
( 6 .2.18)
et dont le carré de la norme est donné par (6.2.10). Les applications de J + et J − aux
vecteurs | jm redonnent donc des vecteurs de E
( j) .
b) Représentations irréductibles
En conséquence, l’espace E
( j) est stable sous l’action des opérateurs de rotation et il
n’existe pas de sous-espace de E
( j) qui soit stable pour ces opérateurs. Les vecteurs
de la base canonique étant transformés entre eux par les opérateurs infinitésimaux
de rotation, ils le sont également par des opérateurs de rotation finie. La représentation D
( j) du groupe SO(3), ayant pour espace de représentation E
( j) , est donc une
représentation irréductible de ce groupe.
Puisque la représentation D
( j) est parfaitement déterminée par le nombre j, il existe
au plus une représentation irréductible de dimension 2j + 1. Or, puisqu’il existe des
représentations irréductibles de toute dimension donnée, il en résulte qu’il n’y en a
pas d’autres que celles indiquées. Les représentations linéaires D
( j) constituent donc
toutes les représentations irréductibles de SO(3).
Les hypothèses faites sur les opérateurs de moment cinétique : relations de commutation (6.2.1) et opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert ne sont pas suffisantes pour résoudre complètement le problème des valeurs et vecteurs propres.
Pour un problème particulier, il faudra préciser quels sont, parmi les nombres entiers
ou demi-entiers, ceux qui font effectivement partie du spectre de ces opérateurs et,
d’autre part, donner les expressions explicites des vecteurs propres.
6 • Moment cinétique
6.2.3 Représentations irréductibles de SO(3)
Partons d’un vecteur propre déterminé, | jm, de J z . Pour j fixé, J z possède (2j + 1)
vecteurs propres : | j, −j, J + | j, −j, ..., J
2j
+ | j, −j. L’opérateur J z étant hermitien, ces
vecteurs sont orthogonaux entre eux et donc linéairement indépendants. Ils peuvent
donc former une base d’un espace vectoriel que nous noterons E
( j) et qui a pour
dimension (2j + 1) ; cette base est appelée la base canonique de l’espace E
( j) . Cet
espace peut servir d’espace de représentation pour le groupe SO(3) ; la représentation
ainsi obtenue est notée D
( j) . Le nombre j est appelé le poids de cette représentation.
a) Action des opérateurs de rotation sur la base canonique
Montrons que tous les vecteurs de la base canonique de E
( j) sont transformés entre
eux par les opérateurs de rotation J + et J − . En effet, ces opérateurs font passer d’un
vecteur à un autre de la base par saut d’une unité . De plus, l’application de J + au
vecteur | jj donne le vecteur nul :
J + | jj = 0
( 6 .2.17)
puisque le carré de la norme de J + | jj est nul selon la formule (6.2.9) et que la norme
d’un vecteur d’un espace de Hilbert est nulle si et seulement si ce vecteur est nul.
Un même raisonnement s’applique au vecteur | j, −j sur lequel l’action de J −
donne également le vecteur nul, soit :
J − | j, −j = 0
( 6 .2.18)
et dont le carré de la norme est donné par (6.2.10). Les applications de J + et J − aux
vecteurs | jm redonnent donc des vecteurs de E
( j) .
b) Représentations irréductibles
En conséquence, l’espace E
( j) est stable sous l’action des opérateurs de rotation et il
n’existe pas de sous-espace de E
( j) qui soit stable pour ces opérateurs. Les vecteurs
de la base canonique étant transformés entre eux par les opérateurs infinitésimaux
de rotation, ils le sont également par des opérateurs de rotation finie. La représentation D
( j) du groupe SO(3), ayant pour espace de représentation E
( j) , est donc une
représentation irréductible de ce groupe.
Puisque la représentation D
( j) est parfaitement déterminée par le nombre j, il existe
au plus une représentation irréductible de dimension 2j + 1. Or, puisqu’il existe des
représentations irréductibles de toute dimension donnée, il en résulte qu’il n’y en a
pas d’autres que celles indiquées. Les représentations linéaires D
( j) constituent donc
toutes les représentations irréductibles de SO(3).
Les hypothèses faites sur les opérateurs de moment cinétique : relations de commutation (6.2.1) et opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert ne sont pas suffisantes pour résoudre complètement le problème des valeurs et vecteurs propres.
Pour un problème particulier, il faudra préciser quels sont, parmi les nombres entiers
ou demi-entiers, ceux qui font effectivement partie du spectre de ces opérateurs et,
d’autre part, donner les expressions explicites des vecteurs propres.