6.2 Opérateurs de moment cinétique
133
Le carré de la norme de ces vecteurs étant positive ou nulle, on obtient les inégalités :
( j − m)( j + m + 1) 0 ; (j + m)( j − m + 1) 0
( 6 .2.11)
Puisque j est positif ou nul, les inégalités précédentes impliquent qu’on ait :
−( j + 1) m j ; −j m j + 1
(6.2.12)
Ces deux inégalités ne peuvent être simultanément vérifiées que si :
−j m j
(6.2.13)
➤ Action de J + et J − sur les vecteurs propres
Appliquons le commutateur [J z , J ± ] sur le vecteur propre | jm. En utilisant la relation : [J z , J ± ] = ± J ± , on obtient :
J z J ± | jm = (J ± J z ± J ± )| jm = (m ± 1)J ± | jm
(6.2.14)
Cette dernière relation montre que J + | jm est un vecteur propre de J z pour la valeur
propre (m + 1) et J − | jm, pour la valeur propre (m − 1). L’opérateur J + fait croître
m d’une unité et, par suite, fait augmenter la valeur propre de J z de alors que J − la
fait décroître de .
Selon (6.2.13), la plus petite valeur de m est égale à −j ; notons | j, −j le vecteur
propre correspondant à cette valeur minimale de m. L’application répétée de J + au
vecteur | j, −j engendre une suite de vecteurs propres J + | j, −j, ..., J
p
+ | j, −j, qui
correspondent respectivement aux valeurs propres (−j + 1), ..., (−j + p). Or la
valeur maximale de m étant égale à j, la suite des valeurs propres est en nombre
limité. Appelons précisément p le nombre d’itérations de J + aboutissant à cette valeur
maximale : j = (−j + p). Cette dernière relation nous donne :
j =
p
2
(6.2.15)
Puisque p est un nombre entier, j ne peut prendre que des valeurs entières ou demientières, positives ou nulles, soit :
j = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, ...
(6.2.16)
Par demi-entiers, on entend des nombres impairs divisés par deux. Pour une valeur
donnée de j, les valeurs de m ne peuvent être comprises qu’entre −j et j, par saut
d’une unité ; à une valeur de j correspondent donc (2j + 1) valeurs propres de J z .
Si j est un nombre entier, il en est de même de toutes les valeurs de m et si j est
demi-entier, toutes les valeurs de m sont demi-entières.
Remarquons que nous retrouvons les valeurs de m, données par (6.1.20), pour le
moment cinétique orbital. Mais on voit apparaître de plus des valeurs demi-entières
lorsque le moment cinétique est défini de manière générale par les relations (6.2.1)
qui, fondamentalement, sont celles des rotations dans l’espace tridimensionnel formant le groupe SO(3).
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Le carré de la norme de ces vecteurs étant positive ou nulle, on obtient les inégalités :
( j − m)( j + m + 1) 0 ; (j + m)( j − m + 1) 0
( 6 .2.11)
Puisque j est positif ou nul, les inégalités précédentes impliquent qu’on ait :
−( j + 1) m j ; −j m j + 1
(6.2.12)
Ces deux inégalités ne peuvent être simultanément vérifiées que si :
−j m j
(6.2.13)
➤ Action de J + et J − sur les vecteurs propres
Appliquons le commutateur [J z , J ± ] sur le vecteur propre | jm. En utilisant la relation : [J z , J ± ] = ± J ± , on obtient :
J z J ± | jm = (J ± J z ± J ± )| jm = (m ± 1)J ± | jm
(6.2.14)
Cette dernière relation montre que J + | jm est un vecteur propre de J z pour la valeur
propre (m + 1) et J − | jm, pour la valeur propre (m − 1). L’opérateur J + fait croître
m d’une unité et, par suite, fait augmenter la valeur propre de J z de alors que J − la
fait décroître de .
Selon (6.2.13), la plus petite valeur de m est égale à −j ; notons | j, −j le vecteur
propre correspondant à cette valeur minimale de m. L’application répétée de J + au
vecteur | j, −j engendre une suite de vecteurs propres J + | j, −j, ..., J
p
+ | j, −j, qui
correspondent respectivement aux valeurs propres (−j + 1), ..., (−j + p). Or la
valeur maximale de m étant égale à j, la suite des valeurs propres est en nombre
limité. Appelons précisément p le nombre d’itérations de J + aboutissant à cette valeur
maximale : j = (−j + p). Cette dernière relation nous donne :
j =
p
2
(6.2.15)
Puisque p est un nombre entier, j ne peut prendre que des valeurs entières ou demientières, positives ou nulles, soit :
j = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, ...
(6.2.16)
Par demi-entiers, on entend des nombres impairs divisés par deux. Pour une valeur
donnée de j, les valeurs de m ne peuvent être comprises qu’entre −j et j, par saut
d’une unité ; à une valeur de j correspondent donc (2j + 1) valeurs propres de J z .
Si j est un nombre entier, il en est de même de toutes les valeurs de m et si j est
demi-entier, toutes les valeurs de m sont demi-entières.
Remarquons que nous retrouvons les valeurs de m, données par (6.1.20), pour le
moment cinétique orbital. Mais on voit apparaître de plus des valeurs demi-entières
lorsque le moment cinétique est défini de manière générale par les relations (6.2.1)
qui, fondamentalement, sont celles des rotations dans l’espace tridimensionnel formant le groupe SO(3).