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6 • Moment cinétique
L’opérateur J
2
x + J
2
y + J
2
z peut être considéré comme étant l’opérateur correspondant
au carré du moment cinétique et noté :
J
2 = J
2
x + J
2
y + J
2
z
(6.2.2)
Nous admettrons que J
2 est une observable. Compte tenu de (6.2.1), on montre aisément que J
2 est un opérateur qui commute avec les trois composantes de J :
[J
2 , J x ] = [J
2 , J y ] = [J
2 , J z ] = 0
( 6 .2.3)
Nous allons déterminer les valeurs propres des opérateurs de moment cinétique ainsi
que les propriétés générales de leurs vecteurs propres.
➤ Opérateurs J + et J −
Introduisons les opérateurs suivants qui nous faciliteront la tâche :
J + = J x + iJ y ; J − = J x − iJ y
(6.2.4)
Ces opérateurs vérifient les nouvelles relations de structure :
[J + , J − ] = 2 J z ; [J z , J ± ] = ± J ± ; [J
2 , J ± ] = 0
( 6 .2.5)
Puisque J x et J y sont, par définition, hermitiens, il en résulte que J + et J − sont adjoints
l’un de l’autre :
(J + )
† = J − ; (J − )
† = J +
(6.2.6)
En tenant compte de (6.2.1) et (6.2.2), le produit des opérateurs J + et J − donne :
J + J − = J
2
− J
2
z + J z ; J − J + = J
2
− J
2
z − J z
(6.2.7)
6.2.2 Valeurs propres de J
2 et J z
Puisque J
2 et J z commutent, ils peuvent avoir des vecteurs propres communs que
nous supposerons de norme unité. Notons m et
2 j( j + 1) les valeurs propres respectives de J z et J
2 ; notons | jm leurs vecteurs propres communs, d’où :
J z | jm = m| jm ; J
2
| jm =
2 j( j + 1)| jm
(6.2.8)
La notation
2 j( j + 1), où j est inconnu, peut sembler arbitraire mais elle facilite par
la suite les calculs. La valeur de j est positive ou nulle car les valeurs propres de J
2 ,
somme de carrés d’opérateurs hermitiens, ne peuvent être que positives.
Calculons le carré de la norme du vecteur J + | jm. Utilisant le fait que J + et J − sont
adjoints et tenant compte de (6.2.7), on obtient :
J + | jm
2 = jm|J − J + | jm = jm|J
2
− J
2
z − J z | jm
=
2 j( j + 1) −
2 m
2
−
2 m
=
2 ( j − m)( j + m + 1)
(6.2.9)
Un calcul analogue pour le carré de la norme de J − | jm nous donne :
J − | jm
2 =
2 ( j + m)( j − m + 1)
(6.2.10)
6 • Moment cinétique
L’opérateur J
2
x + J
2
y + J
2
z peut être considéré comme étant l’opérateur correspondant
au carré du moment cinétique et noté :
J
2 = J
2
x + J
2
y + J
2
z
(6.2.2)
Nous admettrons que J
2 est une observable. Compte tenu de (6.2.1), on montre aisément que J
2 est un opérateur qui commute avec les trois composantes de J :
[J
2 , J x ] = [J
2 , J y ] = [J
2 , J z ] = 0
( 6 .2.3)
Nous allons déterminer les valeurs propres des opérateurs de moment cinétique ainsi
que les propriétés générales de leurs vecteurs propres.
➤ Opérateurs J + et J −
Introduisons les opérateurs suivants qui nous faciliteront la tâche :
J + = J x + iJ y ; J − = J x − iJ y
(6.2.4)
Ces opérateurs vérifient les nouvelles relations de structure :
[J + , J − ] = 2 J z ; [J z , J ± ] = ± J ± ; [J
2 , J ± ] = 0
( 6 .2.5)
Puisque J x et J y sont, par définition, hermitiens, il en résulte que J + et J − sont adjoints
l’un de l’autre :
(J + )
† = J − ; (J − )
† = J +
(6.2.6)
En tenant compte de (6.2.1) et (6.2.2), le produit des opérateurs J + et J − donne :
J + J − = J
2
− J
2
z + J z ; J − J + = J
2
− J
2
z − J z
(6.2.7)
6.2.2 Valeurs propres de J
2 et J z
Puisque J
2 et J z commutent, ils peuvent avoir des vecteurs propres communs que
nous supposerons de norme unité. Notons m et
2 j( j + 1) les valeurs propres respectives de J z et J
2 ; notons | jm leurs vecteurs propres communs, d’où :
J z | jm = m| jm ; J
2
| jm =
2 j( j + 1)| jm
(6.2.8)
La notation
2 j( j + 1), où j est inconnu, peut sembler arbitraire mais elle facilite par
la suite les calculs. La valeur de j est positive ou nulle car les valeurs propres de J
2 ,
somme de carrés d’opérateurs hermitiens, ne peuvent être que positives.
Calculons le carré de la norme du vecteur J + | jm. Utilisant le fait que J + et J − sont
adjoints et tenant compte de (6.2.7), on obtient :
J + | jm
2 = jm|J − J + | jm = jm|J
2
− J
2
z − J z | jm
=
2 j( j + 1) −
2 m
2
−
2 m
=
2 ( j − m)( j + m + 1)
(6.2.9)
Un calcul analogue pour le carré de la norme de J − | jm nous donne :
J − | jm
2 =
2 ( j + m)( j − m + 1)
(6.2.10)