6.2 Opérateurs de moment cinétique
131
Les relations (6.1.14) et (6.1.15) nous donnent pour expression de l’opérateur de
rotation infinitésimale, au voisinage de l’opérateur identité :
R z (dg) = 1 1 − dg
∂
∂w
(6.1.16)
En comparant à l’expression (5.4.11) qui s’écrit : R z (dg) = 1 1 − dgL z , on voit que
le générateur infinitésimal L z est égal à ∂/∂w en coordonnées sphériques. Pour obtenir l’opérateur moment cinétique orbital L z , il faut multiplier par −i le générateur
infinitésimal, d’où :
L z = −i
∂
∂w
(6.1.17)
Écrivons l’équation aux valeurs propres de l’opérateur L z sous la forme L z c = mc.
Conformément à (6.1.17), cette équation s’écrit :
−i
∂
∂w
c(r, u, w) = mc(r, u, w)
( 6 .1.18)
Ses solutions sont de la forme :
c(r, u, w) = f (r, u)e
im w
(6.1.19)
où f (r, u) est une fonction arbitraire de r et u. Pour que la fonction c soit univoque,
il faut qu’elle soit périodique en w, de période 2p. En conséquence, m doit être un
entier :
m = 0, ±1, ±2, ...
(6.1.20)
Les valeurs propres de L z sont donc les nombres m, où m est un entier.
6.2 OPÉRATEURS DE MOMENT CINÉTIQUE
6.2.1 Définition
Les opérateurs L x , L y , L z de moment cinétique sont, à un coefficient de proportionnalité près, identiques respectivement aux générateurs infinitésimaux L x , L y , L z du
groupe des rotations spatiales SO(3). Par suite de cette identité, on appelle moment
cinétique tout opérateur vérifiant les relations de structure de SO(3) données par
(5.5.22).
Par définition, les observables notées J x , J y , J z et vérifiant les relations de commutation suivantes :
[J x , J y ] = i J z ; [J y , J z ] = i J x ; [J z , J x ] = i J y
(6.2.1)
sont appelées opérateurs de moment cinétique. Ces opérateurs forment les composantes du vecteur moment cinétique J. Le moment cinétique orbital n’est ainsi qu’un
cas particulier du moment cinétique défini par les relations (6.2.1).
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Les relations (6.1.14) et (6.1.15) nous donnent pour expression de l’opérateur de
rotation infinitésimale, au voisinage de l’opérateur identité :
R z (dg) = 1 1 − dg
∂
∂w
(6.1.16)
En comparant à l’expression (5.4.11) qui s’écrit : R z (dg) = 1 1 − dgL z , on voit que
le générateur infinitésimal L z est égal à ∂/∂w en coordonnées sphériques. Pour obtenir l’opérateur moment cinétique orbital L z , il faut multiplier par −i le générateur
infinitésimal, d’où :
L z = −i
∂
∂w
(6.1.17)
Écrivons l’équation aux valeurs propres de l’opérateur L z sous la forme L z c = mc.
Conformément à (6.1.17), cette équation s’écrit :
−i
∂
∂w
c(r, u, w) = mc(r, u, w)
( 6 .1.18)
Ses solutions sont de la forme :
c(r, u, w) = f (r, u)e
im w
(6.1.19)
où f (r, u) est une fonction arbitraire de r et u. Pour que la fonction c soit univoque,
il faut qu’elle soit périodique en w, de période 2p. En conséquence, m doit être un
entier :
m = 0, ±1, ±2, ...
(6.1.20)
Les valeurs propres de L z sont donc les nombres m, où m est un entier.
6.2 OPÉRATEURS DE MOMENT CINÉTIQUE
6.2.1 Définition
Les opérateurs L x , L y , L z de moment cinétique sont, à un coefficient de proportionnalité près, identiques respectivement aux générateurs infinitésimaux L x , L y , L z du
groupe des rotations spatiales SO(3). Par suite de cette identité, on appelle moment
cinétique tout opérateur vérifiant les relations de structure de SO(3) données par
(5.5.22).
Par définition, les observables notées J x , J y , J z et vérifiant les relations de commutation suivantes :
[J x , J y ] = i J z ; [J y , J z ] = i J x ; [J z , J x ] = i J y
(6.2.1)
sont appelées opérateurs de moment cinétique. Ces opérateurs forment les composantes du vecteur moment cinétique J. Le moment cinétique orbital n’est ainsi qu’un
cas particulier du moment cinétique défini par les relations (6.2.1).