130
6 • Moment cinétique
les expressions (6.1.8) commutent entre eux. On n’a donc pas de règle de symétrisation à utiliser. Le vecteur L de composantes L x , L y , L z , peut s’écrire sous la forme :
L = R × P
(6.1.9)
Si l’on considère un système formé de N particules et si l’on note L i l’opérateur de
moment cinétique orbital d’une particule i, l’opérateur de moment cinétique total du
système est :
L =
N
i=1
L i
(6.1.10)
➤ Relations de commutation
Les opérateurs de moment cinétique étant, au facteur −i près, identiques aux générateurs infinitésimaux du groupe des rotations spatiales, leurs relations de commutation sont analogues, soit :
[L x , L y ] = i L z ; [L y , L z ] = i L x ; [L z , L x ] = i L y
(6.1.11)
Formons l’opérateur L
2
x + L
2
y + L
2
z qu’on peut considérer comme étant l’observable
correspondant au carré l
2 du vecteur moment cinétique ; appelons cet observable L
2 ,
soit :
L
2 = L
2
x + L
2
y + L
2
z
(6.1.12)
Utilisant les relations de commutation (6.1.11), on vérifie aisément que L
2 commute
avec chacun des opérateurs de moment cinétique, soit :
[L
2 , L x ] = [L
2 , L y ] = [L
2 , L z ] = 0
( 6 .1.13)
Ces dernières relations montrent qu’on peut mesurer simultanément le carré du moment cinétique et l’une de ses composantes.
6.1.3 Opérateur L z en coordonnées sphériques
Considérons une rotation R (dg) autour d’un axe Oz d’un angle infinitésimal dg et
utilisons l’espace vectoriel des fonctions d’onde c(r, u, w) écrites en coordonnées
sphériques. L’opérateur de rotation R z (dg) transforme la fonction c(r, u, w) sous la
forme :
R z (dg)c(r, u, w) = c(R
−1 (dg)r) = c(r, u, w − dg)
( 6 .1.14)
Écrivons le développement limité de c(r, u, w − dg) au voisinage de g = 0, en nous
limitant au premier ordre :
c(r, u, w − dg) = c(r, u, w) − dg
∂c(r, u, w)
∂w
dg=0
=
1 − dg
∂
∂w
c(r, u, w)
(6.1.15)
6 • Moment cinétique
les expressions (6.1.8) commutent entre eux. On n’a donc pas de règle de symétrisation à utiliser. Le vecteur L de composantes L x , L y , L z , peut s’écrire sous la forme :
L = R × P
(6.1.9)
Si l’on considère un système formé de N particules et si l’on note L i l’opérateur de
moment cinétique orbital d’une particule i, l’opérateur de moment cinétique total du
système est :
L =
N
i=1
L i
(6.1.10)
➤ Relations de commutation
Les opérateurs de moment cinétique étant, au facteur −i près, identiques aux générateurs infinitésimaux du groupe des rotations spatiales, leurs relations de commutation sont analogues, soit :
[L x , L y ] = i L z ; [L y , L z ] = i L x ; [L z , L x ] = i L y
(6.1.11)
Formons l’opérateur L
2
x + L
2
y + L
2
z qu’on peut considérer comme étant l’observable
correspondant au carré l
2 du vecteur moment cinétique ; appelons cet observable L
2 ,
soit :
L
2 = L
2
x + L
2
y + L
2
z
(6.1.12)
Utilisant les relations de commutation (6.1.11), on vérifie aisément que L
2 commute
avec chacun des opérateurs de moment cinétique, soit :
[L
2 , L x ] = [L
2 , L y ] = [L
2 , L z ] = 0
( 6 .1.13)
Ces dernières relations montrent qu’on peut mesurer simultanément le carré du moment cinétique et l’une de ses composantes.
6.1.3 Opérateur L z en coordonnées sphériques
Considérons une rotation R (dg) autour d’un axe Oz d’un angle infinitésimal dg et
utilisons l’espace vectoriel des fonctions d’onde c(r, u, w) écrites en coordonnées
sphériques. L’opérateur de rotation R z (dg) transforme la fonction c(r, u, w) sous la
forme :
R z (dg)c(r, u, w) = c(R
−1 (dg)r) = c(r, u, w − dg)
( 6 .1.14)
Écrivons le développement limité de c(r, u, w − dg) au voisinage de g = 0, en nous
limitant au premier ordre :
c(r, u, w − dg) = c(r, u, w) − dg
∂c(r, u, w)
∂w
dg=0
=
1 − dg
∂
∂w
c(r, u, w)
(6.1.15)