6.1 Moment cinétique orbital
129
b) Moment cinétique orbital
Par définition, la grandeur qui se conserve lors d’une rotation, pour un système fermé,
s’appelle le moment cinétique orbital du système. Autrement dit, à l’opérateur de
rotation doit correspondre, à un facteur près, le moment cinétique orbital. Pour une
seule particule, d’impulsion p, le moment cinétique classique est : l = r × p.
Nous avons vu qu’à une rotation infinitésimale d’un angle du autour d’un axe u,
on peut associer l’opérateur R u (du) agissant sur des fonctions d’onde et dont l’expression est donnée par (5.5.15), à savoir :
R u (du) = 1 1 − du(u·L)
( 6 .1.2)
où L est le vecteur ayant pour composantes les générateurs infinitésimaux L x , L y , L z .
Puisque l’opérateur unité commute avec tout opérateur et que le vecteur duu est un
vecteur constant, la commutation entre R u (du) et H se réduit à :
LH = HL
(6.1.3)
L’opérateur infinitésimal de rotation L doit donc correspondre, à un facteur près, au
moment cinétique classique de la particule. Pour obtenir le facteur de proportionnalité, considérons la composante l x = yp z − zp y du vecteur l. Aux composantes p z
et p y correspondent respectivement les opérateurs −i ∂/∂z et −i ∂/dy. Par suite,
l’opérateur L x correspondant à la composante l x , en réalisation-r, est donné par :
L x = −i
y
∂
∂z
− z
∂
∂y
(6.1.4)
Compte tenu de l’expression (5.5.6) de l’opérateur de rotation infinitésimale L x , on
obtient :
L x = −i L x
(6.1.5)
Le coefficient de proportionnalité est donc égal à −i , ce qu’on vérifie également
pour les autres opérateurs L y et L z . Notons L le vecteur ayant pour composantes L x ,
L y , L z ; on a la relation :
L = −i L
(6.1.6)
L’opérateur de rotation infinitésimale s’écrit alors :
R u (du) = 1 1 −
i
du(u·L)
( 6 .1.7)
6.1.2 Opérateur moment cinétique agissant sur les vecteurs d’état
Aux variables de position x, y, z, on associe les observables X, Y, Z, et aux variables
d’impulsion p x , p y , p z , les observables P x , P y , P z . On obtient alors pour expression
des observables du moment cinétique orbital agissant sur les vecteurs d’état :
L x = YP z − ZP y ; L y = ZP x − XP z ; L z = XP y − YP x
(6.1.8)
On note que, dans le cas présent, il n’y a pas de précaution particulière à prendre pour
obtenir les observables du moment cinétique car les opérateurs qui interviennent dans
129
b) Moment cinétique orbital
Par définition, la grandeur qui se conserve lors d’une rotation, pour un système fermé,
s’appelle le moment cinétique orbital du système. Autrement dit, à l’opérateur de
rotation doit correspondre, à un facteur près, le moment cinétique orbital. Pour une
seule particule, d’impulsion p, le moment cinétique classique est : l = r × p.
Nous avons vu qu’à une rotation infinitésimale d’un angle du autour d’un axe u,
on peut associer l’opérateur R u (du) agissant sur des fonctions d’onde et dont l’expression est donnée par (5.5.15), à savoir :
R u (du) = 1 1 − du(u·L)
( 6 .1.2)
où L est le vecteur ayant pour composantes les générateurs infinitésimaux L x , L y , L z .
Puisque l’opérateur unité commute avec tout opérateur et que le vecteur duu est un
vecteur constant, la commutation entre R u (du) et H se réduit à :
LH = HL
(6.1.3)
L’opérateur infinitésimal de rotation L doit donc correspondre, à un facteur près, au
moment cinétique classique de la particule. Pour obtenir le facteur de proportionnalité, considérons la composante l x = yp z − zp y du vecteur l. Aux composantes p z
et p y correspondent respectivement les opérateurs −i ∂/∂z et −i ∂/dy. Par suite,
l’opérateur L x correspondant à la composante l x , en réalisation-r, est donné par :
L x = −i
y
∂
∂z
− z
∂
∂y
(6.1.4)
Compte tenu de l’expression (5.5.6) de l’opérateur de rotation infinitésimale L x , on
obtient :
L x = −i L x
(6.1.5)
Le coefficient de proportionnalité est donc égal à −i , ce qu’on vérifie également
pour les autres opérateurs L y et L z . Notons L le vecteur ayant pour composantes L x ,
L y , L z ; on a la relation :
L = −i L
(6.1.6)
L’opérateur de rotation infinitésimale s’écrit alors :
R u (du) = 1 1 −
i
du(u·L)
( 6 .1.7)
6.1.2 Opérateur moment cinétique agissant sur les vecteurs d’état
Aux variables de position x, y, z, on associe les observables X, Y, Z, et aux variables
d’impulsion p x , p y , p z , les observables P x , P y , P z . On obtient alors pour expression
des observables du moment cinétique orbital agissant sur les vecteurs d’état :
L x = YP z − ZP y ; L y = ZP x − XP z ; L z = XP y − YP x
(6.1.8)
On note que, dans le cas présent, il n’y a pas de précaution particulière à prendre pour
obtenir les observables du moment cinétique car les opérateurs qui interviennent dans