Exercices
127
Notons :
I
=
⎡
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦ et I =
⎡
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦ +
⎡
⎢
⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦ = I
+ M
(4)
On vérifie qu’on a : I
2 = I
et I
K = K. Les puissances successives de la matrice K nous
donnent :
K
2 = −I
; K
4 = I
; K
2n = (−1)
n I
(5)
K
3 = −K ; K
5 = K ; K
(2n+1) = (−1)
n K
( 6 )
d’où l’expression de la matrice exponentielle :
exp(gK) = M + I
(1 −
g
2
2!
+
g
4
4!
− · · · ) + K(
g
1!
−
g
3
3!
+ · · · )
= M + I
cos g + K sin g
(7)
Sous forme matricielle, on obtient :
e
gK =
⎡
⎢
⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦+
⎡
⎢
⎣
cos g
0
0
0
cosg 0
0
0
0
⎤
⎥
⎦+
⎡
⎢
⎣
0
− sin g 0
sin g
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
cos g − sin g 0
sin g cos g 0
0
0
1
⎤
⎥
⎦ (8)
C’est finalement la matrice de rotation M[R z (g)].
2. Les matrices correspondant à des rotations autour des axes Ox, d’un angle a, et Oy, d’un
angle b, sont obtenues à partir des matrices infinitésimales :
x = iL x ; y = iL y
(9)
Elles permettent, par des développements analogues, d’obtenir les relations matricielles :
M[R x (a)] = exp(−ia x ) ; M[R y (b)] = exp(−ib y )
(10)
Remarquons que ces matrices expriment les rotations d’un point donné dans un référentiel
fixe et non les rotations du référentiel.