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5 • Les groupes et leurs représentations
Solution.
1. On vérifie aisément les axiomes de définition d’un groupe. La composition de deux translations est la translation telle que :
T (a, b, c)T (a
, b
, c
) = T (a + a
, b + b
, c + c
)
( 3 )
La translation inverse de T (a, b, c) est la translation T (−a, −b, −c).
2. La fonction c(r) devient lors de l’application de l’opérateur T(dr) :
T(dr)c(r) = c[T (−dr)r] = c(r − dr)
= c(r) − dx
∂c
∂x
− dy
∂c
∂y
− dz
∂c
∂z
= (11 − dr · ∇)c(r)
( 4 )
L’opérateur de translation infinitésimale dans l’espace est donc :
T(dr) = 1 1 − dr · ∇
(5)
Puisque l’opérateur unité commute avec n’importe quel opérateur et que le terme constant dr
peut être sorti de l’opérateur, on a pour une particule libre : [T, H] = [−∇, H] = 0.
Un opérateur indépendant du temps et qui commute avec H est un opérateur qui représente
une grandeur physique conservative. C’est précisément l’impulsion qui est une grandeur
conservative lors d’une translation quelconque. L’opérateur −∇ doit donc correspondre, à
un facteur constant près, à l’opérateur qui représente l’impulsion p d’un système.
Exercice 5.6. Représentation matricielle du groupe SO(3)
On définit la matrice à symétrie hermitienne suivante :
z =
⎡
⎢
⎣
0 −i 0
i 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦ = i
⎡
⎢
⎣
0 −1 0
1
0 0
0
0 0
⎤
⎥
⎦ = iL z
(1)
où L z est la matrice infinitésimale du groupe des rotations spatiales SO(3).
1. Montrer que la matrice de rotation autour d’un axe Oz, d’une angle g, à
savoir :
M[R z (g)] =
⎡
⎢
⎣
cos g − sin g 0
sin g cos g 0
0
0
1
⎤
⎥
⎦
(2)
peut se mettre sous forme de la matrice exponentielle :
M[R z (g)] = exp(−ig z )
(3)
2. Montrer que l’on obtient des expressions analogues pour les rotations
autour des axes Ox et Oy.
Solution.
1. Posons : K = −i z ; par définition, la matrice exp(−ig z ) = exp(gK) a pour expression :
exp(−ig z ) = exp(gK) = I +
g
1!
K + · · · +
g
n
n!
K
n + · · ·
(3)