Exercices
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Solution.
1. La dérivation des éléments matriciels de R(a), pour a = 0, donne la matrice infinitésimale,
soit :
X
(a) =
0 −1
1
0
(3)
2. La matrice exp(aX
(a) ) est définie par la série :
exp(aX
(a) ) = 1 1 +
aX
(a)
1!
+
a
2 (X
(a) )
2
2!
+ · · · +
a
k (X
(a) )
k
k!
+ · · ·
(4)
Les puissances successives de la matrice X
(a) nous donnent :
(X
(a) )
2 = −11 ; (X
(a) )
4 = 1 1 ; (X
(a) )
2n = (−1)
n 1 1
(X
(a) )
3 = −X
(a) ; (X
(a) )
5 = X
(a)
; (X
(a) )
2n+1 = (−1)
n X
(a)
(5)
La série matricielle exp(aX
(a) ) peut être scindée en deux séries :
– l’une contient les puissances paires de a, soit a
2n , qui sont multipliées par (−1)
n 1 1 ; sa
somme est égale à 1 1cos a ;
– l’autre comporte les puissances impaires de a, soit a
2n+1 , qui sont multipliées par
(−1)
n X
(a) ; sa somme est égale à X
(a) sin a.
On obtient finalement :
exp(aX
(a) ) = 1 1 cos a + X
(a) sin a =
cos a
0
0
cosa
+
0
− sin a
sin a
0
=
cos a − sin a
sin a cos a
= R(a)
( 6 )
Exercice 5.5. Groupe des translations tridimensionnelles
Une opération de translation, notée T (a, b, c) transforme un point
M(x, y, z) de l’espace en un point M
(x
, y
, z
) de coordonnées :
x
= x + a ; y
= y + b ; z
= z + c
(1)
1. Montrer que l’ensemble des translations T (a, b, c) forme un groupe.
2. Soit T(a, b, c) un opérateur associé à la translation T (a, b, c) qui,
agissant sur une fonction c(r), la transforme en c
(r) telle que :
c
(r) = [Tc](r) = c(T
−1 r)
(2)
avec T
−1 (a, b, c) = T (−a, −b, −c). Effectuer un développement de
c
(r) en série de Taylor au voisinage de r. En déduire l’expression de
l’opérateur de translation infinitésimale T(dr). Montrer qu’il commute avec
l’hamiltonien H d’une particule libre.