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5 • Les groupes et leurs représentations
Solution.
1. Formons les combinaisons linéaires suivantes des vecteurs de base :
w 1 = p x + ip y = f (r) sin ue
iw ; w 2 = p x − ip y = f (r) sin ue
−iw
(2)
Notons E
et E
les espaces vectoriels ayant respectivement pour base les vecteurs w 1 et w 2 .
Tout vecteur c de E 2 s’écrit de façon unique sur la base {w 1 , w 2 } :
c = aw 1 + bw 2 = f 1 + f 2
(3)
où f 1 et f 2 sont des vecteurs respectifs de E
et E
. L’espace E 2 est donc la somme directe
des sous-espaces, soit :
E 2 = E
⊕ E
(4)
Les vecteurs w 1 et w 2 sont orthogonaux entre eux, puisque l’intégrale
∞
0
| f (r)|
2 r
2 dr existe
et l’on a :
w 1 , w 2 ∝
2p
0
(e
iw )
∗ e
−iw dw = 0
( 5 )
2. Les transformées par les opérateurs de rotation des vecteurs de base des espaces E
et E
sont :
R(a)w 1 = R(a)f (r) sin ue
iw = f (r) sin ue
i(w−a) = w 1 e
−ia
(6)
R(a)w 2 = R(a)f (r) sin ue
−iw = f (r) sin ue
−i(w−a) = w 2 e
ia
(7)
Les représentations G
et G
de SO(2), ayant pour espaces de représentation respectifs E
et
E
, sont données par les matrices unidimensionnelles e
−ia et e
ia . La représentation matricielle G 2 ayant pour espace de représentation E 2 = E
⊕ E
a pour matrices :
R(a) 2 =
e
−ia
0
0
e
ia
(8)
La représentation G 2 est donc la somme directe : G 2 = G
⊕ G
.
Exercice 5.4. Forme exponentielle d’une représentation de SO(2)
Une représentation de dimension deux du groupe des rotations planes
SO(2) est donnée par les matrices :
R(a) =
cos a − sin a
sin a cos a
(1)
1. Déterminer la matrice infinitésimale X
(a) = −L z de la représentation.
2. Vérifier, par un calcul direct, l’expression suivante des matrices R(a) de
cette représentation :
R(a) = exp(aX
(a) )
(2)