Exercices
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Solution.
1. Les vecteurs de base de E 3 sont orthogonaux entre eux pour le produit scalaire :
c i , c j =
c
∗
i c j d
3 r
(2)
où c j représente l’un des vecteurs de base. L’espace E 1 ayant pour base le vecteur s = f (r)
constitue un sous-espace vectoriel de E 3 , de dimension un. L’espace E 2 ayant pour base p x
et p y forme également un sous-espace de E 3 . L’espace E 3 est la somme directe de ces deux
sous-espaces qui sont supplémentaires :
E 3 = E 1 ⊕ E 2
(3)
2. Toutes les rotations R (a) du groupe SO(2) n’affectent que la variable w et, par suite,
l’espace E 1 est stable par le groupe SO(2). De même, les rotations R (a) appliquées à tout
vecteur de E 2 redonnent des combinaisons linéaires des vecteurs de base. En conséquence
les sous-espaces E 1 et E 2 sont des sous-espaces stables par le groupe SO(2).
3. Pour l’espace E 1 , on a : R (a)f (r) = f (r). Les matrices de la représentation G 1 se réduisent
donc au nombre un ; c’est une matrice à une ligne et une colonne.
Pour l’espace E 2 , les matrices de la représentation G 2 sont des matrices d’ordre deux, données par (5.4.6). Notons R(a) 2 les matrices de G 2 .
4. La représentation G 3 définie sur l’espace de représentation E 3 est constituée de matrices
de la forme :
R(a) 3 =
⎡
⎢
⎣
1
0
0
0 cosa − sin a
0 sina cos a
⎤
⎥
⎦
(4)
Les matrices R(a) 3 sont formées par deux sous-matrices situées sur la diagonale principale ; ces sous-matrices sont celles des représentations G 1 et G 2 . La matrice R(a) 3 est la
somme directe des sous-matrices 1 1 et R(a) 2 et l’on écrit :
R(a) 3 = 1 1 ⊕ R(a) 2
(5)
La représentation G 3 est la somme directe des représentations G 1 et G 2 :
G 3 = G 1 ⊕ G 2
(6)
La représentation G 3 est une représentation réductible. Nous allons voir, au cours de l’exercice suivant, que G 2 est également une représentation réductible.
Exercice 5.3. Représentation de dimension deux du groupe SO(2)
L’espace vectoriel E 2 , défini sur le corps des nombres complexes, a pour
base :
p x = f (r) sin u cos w ; p y = f (r) sin u sin w
(1)
1. Déterminer deux sous-espaces, notés E
et E
, dans E 2 , dont tous les
vecteurs de E
sont orthogonaux à ceux de E
.
2. Déterminer les représentations, notées G
et G
, du groupe SO(2) ayant
pour espaces de représentation respectifs E
et E
. En déduire que la représentation G 2 , ayant pour base de représentation les vecteurs (1), est la
somme directe de G
et G
.
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Solution.
1. Les vecteurs de base de E 3 sont orthogonaux entre eux pour le produit scalaire :
c i , c j =
c
∗
i c j d
3 r
(2)
où c j représente l’un des vecteurs de base. L’espace E 1 ayant pour base le vecteur s = f (r)
constitue un sous-espace vectoriel de E 3 , de dimension un. L’espace E 2 ayant pour base p x
et p y forme également un sous-espace de E 3 . L’espace E 3 est la somme directe de ces deux
sous-espaces qui sont supplémentaires :
E 3 = E 1 ⊕ E 2
(3)
2. Toutes les rotations R (a) du groupe SO(2) n’affectent que la variable w et, par suite,
l’espace E 1 est stable par le groupe SO(2). De même, les rotations R (a) appliquées à tout
vecteur de E 2 redonnent des combinaisons linéaires des vecteurs de base. En conséquence
les sous-espaces E 1 et E 2 sont des sous-espaces stables par le groupe SO(2).
3. Pour l’espace E 1 , on a : R (a)f (r) = f (r). Les matrices de la représentation G 1 se réduisent
donc au nombre un ; c’est une matrice à une ligne et une colonne.
Pour l’espace E 2 , les matrices de la représentation G 2 sont des matrices d’ordre deux, données par (5.4.6). Notons R(a) 2 les matrices de G 2 .
4. La représentation G 3 définie sur l’espace de représentation E 3 est constituée de matrices
de la forme :
R(a) 3 =
⎡
⎢
⎣
1
0
0
0 cosa − sin a
0 sina cos a
⎤
⎥
⎦
(4)
Les matrices R(a) 3 sont formées par deux sous-matrices situées sur la diagonale principale ; ces sous-matrices sont celles des représentations G 1 et G 2 . La matrice R(a) 3 est la
somme directe des sous-matrices 1 1 et R(a) 2 et l’on écrit :
R(a) 3 = 1 1 ⊕ R(a) 2
(5)
La représentation G 3 est la somme directe des représentations G 1 et G 2 :
G 3 = G 1 ⊕ G 2
(6)
La représentation G 3 est une représentation réductible. Nous allons voir, au cours de l’exercice suivant, que G 2 est également une représentation réductible.
Exercice 5.3. Représentation de dimension deux du groupe SO(2)
L’espace vectoriel E 2 , défini sur le corps des nombres complexes, a pour
base :
p x = f (r) sin u cos w ; p y = f (r) sin u sin w
(1)
1. Déterminer deux sous-espaces, notés E
et E
, dans E 2 , dont tous les
vecteurs de E
sont orthogonaux à ceux de E
.
2. Déterminer les représentations, notées G
et G
, du groupe SO(2) ayant
pour espaces de représentation respectifs E
et E
. En déduire que la représentation G 2 , ayant pour base de représentation les vecteurs (1), est la
somme directe de G
et G
.