122
5 • Les groupes et leurs représentations
EXERCICES
Exercice 5.1. Représentation de dimension deux du groupe C 3
Soit R
k
3 une rotation d’un angle 2pk/3 autour d’un axe Oz donné.
1. Montrer que l’ensemble des rotations R
k
3 pour k = 1, 2, 3 forme un
groupe qu’on notera C 3 .
2. On considère l’espace vectoriel E 2 ayant pour base les fonctions des
coordonnées sphériques r, u , w :
p x = f (r) sin u cos w ; p y = f (r) sin u sin w
(1)
L’opérateur de rotation R
k
3 associé à la rotation R
k
3 est défini par (5.3.6).
L’espace vectoriel E 2 est utilisé comme espace de représentation du groupe
C 3 . Déterminer la représentation matricielle de C 3 .
Solution.
1. Le produit de deux rotations R
k
3 donne une rotation appartenant à C 3 . La rotation R
3
3
est l’élément unité E. L’inverse de R
k
3 est la rotation inverse d’un même angle. Les trois
éléments : E, R
1
3 , R
2
3 forment donc un groupe.
2. La définition (5.3.6) des opérateurs associés à un élément d’un groupe s’écrit pour une
rotation R
k
3 :
R
k
3 c(r, u, w) = c(r, u, R
−k
3 w)
( 2 )
Notons a l’angle de rotation tel que a = 0, 2p/3, 4p/3. Il vient, selon (5.4.4) et (5.4.5) :
R
k
3 p x = f (r) sin u cos(w − a) = p x cos a + p y sin a
(3)
R
k
3 p y = f (r) sin u sin(w − a) = −p x sin a + p y cos a
(4)
Compte tenu de (5.4.6), les matrices de rotation constituant la représentation matricielle du
groupe C 3 sont :
(R
k
3 ) 2 =
cos(2kp/3) − sin(2kp/3)
sin(2kp/3) cos(2kp/3)
; k = 1, 2, 3
( 5 )
Exercice 5.2. Représentation de dimension trois du groupe SO(2)
On considère le groupe SO(2) des rotations autour de l’axe Oz ; l’espace de
représentation E 3 a pour vecteurs de base les fonctions c(r, u, w) :
s = f (r) ; p x = f (r) sin u cos w ; p y = f (r) sin u sin w
(1)
1. Déterminer deux sous-espaces supplémentaires E 1 et E 2 dans E 3 .
2. Montrer que E 1 et E 2 sont des sous-espaces stables par SO(2).
3. Déterminer les représentations matricielles, notées G 1 et G 2 , définies
respectivement sur les sous-espaces E 1 et E 2 .
4. Montrer que les matrices de la représentation G 3 , définie sur E 3 , sont
des sommes directes des matrices de G 1 et G 2 .
5 • Les groupes et leurs représentations
EXERCICES
Exercice 5.1. Représentation de dimension deux du groupe C 3
Soit R
k
3 une rotation d’un angle 2pk/3 autour d’un axe Oz donné.
1. Montrer que l’ensemble des rotations R
k
3 pour k = 1, 2, 3 forme un
groupe qu’on notera C 3 .
2. On considère l’espace vectoriel E 2 ayant pour base les fonctions des
coordonnées sphériques r, u , w :
p x = f (r) sin u cos w ; p y = f (r) sin u sin w
(1)
L’opérateur de rotation R
k
3 associé à la rotation R
k
3 est défini par (5.3.6).
L’espace vectoriel E 2 est utilisé comme espace de représentation du groupe
C 3 . Déterminer la représentation matricielle de C 3 .
Solution.
1. Le produit de deux rotations R
k
3 donne une rotation appartenant à C 3 . La rotation R
3
3
est l’élément unité E. L’inverse de R
k
3 est la rotation inverse d’un même angle. Les trois
éléments : E, R
1
3 , R
2
3 forment donc un groupe.
2. La définition (5.3.6) des opérateurs associés à un élément d’un groupe s’écrit pour une
rotation R
k
3 :
R
k
3 c(r, u, w) = c(r, u, R
−k
3 w)
( 2 )
Notons a l’angle de rotation tel que a = 0, 2p/3, 4p/3. Il vient, selon (5.4.4) et (5.4.5) :
R
k
3 p x = f (r) sin u cos(w − a) = p x cos a + p y sin a
(3)
R
k
3 p y = f (r) sin u sin(w − a) = −p x sin a + p y cos a
(4)
Compte tenu de (5.4.6), les matrices de rotation constituant la représentation matricielle du
groupe C 3 sont :
(R
k
3 ) 2 =
cos(2kp/3) − sin(2kp/3)
sin(2kp/3) cos(2kp/3)
; k = 1, 2, 3
( 5 )
Exercice 5.2. Représentation de dimension trois du groupe SO(2)
On considère le groupe SO(2) des rotations autour de l’axe Oz ; l’espace de
représentation E 3 a pour vecteurs de base les fonctions c(r, u, w) :
s = f (r) ; p x = f (r) sin u cos w ; p y = f (r) sin u sin w
(1)
1. Déterminer deux sous-espaces supplémentaires E 1 et E 2 dans E 3 .
2. Montrer que E 1 et E 2 sont des sous-espaces stables par SO(2).
3. Déterminer les représentations matricielles, notées G 1 et G 2 , définies
respectivement sur les sous-espaces E 1 et E 2 .
4. Montrer que les matrices de la représentation G 3 , définie sur E 3 , sont
des sommes directes des matrices de G 1 et G 2 .