Exercices
121
où L 1 et L 2 sont des matrices infinitésimales L x , L y , ou L z . Le produit de ces matrices
nous donne, en se limitant au premier ordre :
N = 1 1 + ab(L 1 L 2 − L 2 L 1 ) + · · ·
(5.5.21)
On aboutit ainsi au résultat suivant : si L 1 et L 2 sont des matrices infinitésimales, la
matrice (L 1 L 2 − L 2 L 1 ) est également une matrice infinitésimale. C’est ce que vérifient
directement les formules (5.5.10).
La démonstration qui précède conduit cependant à un résultat plus général. En effet, notons A 1 et A 2 les matrices infinitésimales correspondant aux rotations considérées. D’après la manière même dont la matrice (L 1 L 2 −L 2 L 1 ) a été obtenue, il lui correspond, dans la nouvelle représentation, la matrice (A 1 A 2 − A 2 A 1 ) et cette dernière
est également une matrice infinitésimale. Ainsi les trois matrices : (A x A y − A y A x ),
(A y A z − A z A y ), (A z A x − A x A z ), étant des matrices infinitésimales, sont des combinaisons linéaires de A x , A y , A z et les coefficients de ces combinaisons linéaires sont
les mêmes pour toutes les représentations linéaires du groupe SO(3). Les formules
de commutation (5.5.10) nous montrent donc qu’on a :
A x A y − A y A x = −A z ; A y A z − A z A y = −A x ; A z A x − A x A z = −A y (5.5.22)
Ces relations sont évidemment identiques pour les opérateurs de la représentation et
constituent les relations de structure du groupe SO(3).
5.5.6 Opérateurs hermitiens
On vérifie aisément que les matrices de rotation (5.5.2) et (5.5.3) sont des matrices
unitaires :
R
† R = RR
† = 1 1
(5.5.23)
Ceci tient au fait que les rotations conservent les longueurs et les angles. La propriété
d’unitarité se conserve donc pour les matrices d’une représentation quelconque. Effectuons alors un développement limité de l’expression (5.5.23) au voisinage de la
matrice unité en ne conservant que les termes du premier ordre ; on obtient pour une
représentation quelconque :
(11 − A i a)
† (11 − A i a) = 1 1 − a(A
†
i + A i ) + · · · = 1 1
(5.5.24)
d’où :
A
†
x = −A x ; A
†
y = −A y ; A
†
z = −A z
(5.5.25)
Les matrices infinitésimales d’une représentation quelconque sont antihermitiennes. C’est ce qu’on vérifie, par exemple, pour les matrices (5.5.9). Pour obtenir
des matrices hermitiennes, il suffit de multiplier les matrices infinitésimales par i.
Ainsi :
J x = iA x ; J y = iA y ; J z = iA z
(5.5.26)
sont des matrices hermitiennes. Les opérateurs correspondants possèdent évidemment les mêmes propriétés que leurs matrices.
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où L 1 et L 2 sont des matrices infinitésimales L x , L y , ou L z . Le produit de ces matrices
nous donne, en se limitant au premier ordre :
N = 1 1 + ab(L 1 L 2 − L 2 L 1 ) + · · ·
(5.5.21)
On aboutit ainsi au résultat suivant : si L 1 et L 2 sont des matrices infinitésimales, la
matrice (L 1 L 2 − L 2 L 1 ) est également une matrice infinitésimale. C’est ce que vérifient
directement les formules (5.5.10).
La démonstration qui précède conduit cependant à un résultat plus général. En effet, notons A 1 et A 2 les matrices infinitésimales correspondant aux rotations considérées. D’après la manière même dont la matrice (L 1 L 2 −L 2 L 1 ) a été obtenue, il lui correspond, dans la nouvelle représentation, la matrice (A 1 A 2 − A 2 A 1 ) et cette dernière
est également une matrice infinitésimale. Ainsi les trois matrices : (A x A y − A y A x ),
(A y A z − A z A y ), (A z A x − A x A z ), étant des matrices infinitésimales, sont des combinaisons linéaires de A x , A y , A z et les coefficients de ces combinaisons linéaires sont
les mêmes pour toutes les représentations linéaires du groupe SO(3). Les formules
de commutation (5.5.10) nous montrent donc qu’on a :
A x A y − A y A x = −A z ; A y A z − A z A y = −A x ; A z A x − A x A z = −A y (5.5.22)
Ces relations sont évidemment identiques pour les opérateurs de la représentation et
constituent les relations de structure du groupe SO(3).
5.5.6 Opérateurs hermitiens
On vérifie aisément que les matrices de rotation (5.5.2) et (5.5.3) sont des matrices
unitaires :
R
† R = RR
† = 1 1
(5.5.23)
Ceci tient au fait que les rotations conservent les longueurs et les angles. La propriété
d’unitarité se conserve donc pour les matrices d’une représentation quelconque. Effectuons alors un développement limité de l’expression (5.5.23) au voisinage de la
matrice unité en ne conservant que les termes du premier ordre ; on obtient pour une
représentation quelconque :
(11 − A i a)
† (11 − A i a) = 1 1 − a(A
†
i + A i ) + · · · = 1 1
(5.5.24)
d’où :
A
†
x = −A x ; A
†
y = −A y ; A
†
z = −A z
(5.5.25)
Les matrices infinitésimales d’une représentation quelconque sont antihermitiennes. C’est ce qu’on vérifie, par exemple, pour les matrices (5.5.9). Pour obtenir
des matrices hermitiennes, il suffit de multiplier les matrices infinitésimales par i.
Ainsi :
J x = iA x ; J y = iA y ; J z = iA z
(5.5.26)
sont des matrices hermitiennes. Les opérateurs correspondants possèdent évidemment les mêmes propriétés que leurs matrices.