120
5 • Les groupes et leurs représentations
c) Rotation finie
L’expression (5.5.15) permet d’obtenir une équation différentielle analogue à
(5.4.16), soit :
dR u (u)
du
= −(u·L)R u (du)
( 5 .5.16)
L’opérateur (u · L) étant indépendant de la variable u, on obtient pour solution :
R u (u) = exp(−uu·L)
( 5 .5.17)
Notons u x , u y , u z , les composantes du vecteur u. La formule précédente s’écrit :
R u (u) = exp[−u(u x L x + u y L y + u z L z )]
(5.5.18)
5.5.5 Relations de structure
La représentation matricielle de dimension trois du groupe SO(3) a pour matrices
infinitésimales les matrices (5.5.9). Nous allons démontrer que toutes les représentations matricielles, de dimension quelconque, ont des générateurs infinitésimaux qui
vérifient les mêmes relations de commutation que la représentation de dimension
trois.
Pour chacune des rotations autour des axes Ox, Oy, Oz, les matrices infinitésimales
respectives d’une représentation G de dimension quelconque seront notées A x , A y ,
A z . Ces matrices sont obtenues en dérivant les matrices de la représentation et en
prenant leur valeur pour un angle nul de rotation, comme nous l’avons fait ci-dessus
pour la représentation de dimension trois. Ces matrices infinitésimales représentent
les générateurs infinitésimaux de la représentation G.
➤ Démonstration
Considérons deux rotations : l’une d’un angle a autour de l’un des axes d’un repère cartésien, l’autre d’un angle b autour de l’un des autres axes cartésiens. Notons
respectivement R(a) et R
(b) les matrices correspondant à ces rotations, dans la représentation d’ordre trois donnée par (5.5.2) et (5.5.3). Formons alors la matrice
suivante :
N = R(a)R
(b)R(−a)R
(−b)
( 5 .5.19)
Cette matrice est développable selon les puissances de a et b. Elle se réduit à la
matrice unité 1 1 pour a = 0 et b = 0, et elle se réduit également à 1 1 pour a = 0
ou b = 0. Par conséquent, tous les termes du développement autre que le premier
doivent contenir ab en facteur. Le terme du premier ordre de la matrice N − 1 1 sera
donc de la forme abP, où P est une matrice infinitésimale. Pour obtenir P, il suffit
d’effectuer le produit (5.5.19) en se limitant dans chaque facteur au terme du premier
ordre. On a pour chaque matrice le développement au voisinage de la matrice unité,
donné par (5.5.8) :
R(a) = 1 1 − aL 1 ; R(−a) = 1 1 + aL 1
R
(b) = 1 1 − bL 2 ; R
(−b) = 1 1 + bL 2
(5.5.20)
5 • Les groupes et leurs représentations
c) Rotation finie
L’expression (5.5.15) permet d’obtenir une équation différentielle analogue à
(5.4.16), soit :
dR u (u)
du
= −(u·L)R u (du)
( 5 .5.16)
L’opérateur (u · L) étant indépendant de la variable u, on obtient pour solution :
R u (u) = exp(−uu·L)
( 5 .5.17)
Notons u x , u y , u z , les composantes du vecteur u. La formule précédente s’écrit :
R u (u) = exp[−u(u x L x + u y L y + u z L z )]
(5.5.18)
5.5.5 Relations de structure
La représentation matricielle de dimension trois du groupe SO(3) a pour matrices
infinitésimales les matrices (5.5.9). Nous allons démontrer que toutes les représentations matricielles, de dimension quelconque, ont des générateurs infinitésimaux qui
vérifient les mêmes relations de commutation que la représentation de dimension
trois.
Pour chacune des rotations autour des axes Ox, Oy, Oz, les matrices infinitésimales
respectives d’une représentation G de dimension quelconque seront notées A x , A y ,
A z . Ces matrices sont obtenues en dérivant les matrices de la représentation et en
prenant leur valeur pour un angle nul de rotation, comme nous l’avons fait ci-dessus
pour la représentation de dimension trois. Ces matrices infinitésimales représentent
les générateurs infinitésimaux de la représentation G.
➤ Démonstration
Considérons deux rotations : l’une d’un angle a autour de l’un des axes d’un repère cartésien, l’autre d’un angle b autour de l’un des autres axes cartésiens. Notons
respectivement R(a) et R
(b) les matrices correspondant à ces rotations, dans la représentation d’ordre trois donnée par (5.5.2) et (5.5.3). Formons alors la matrice
suivante :
N = R(a)R
(b)R(−a)R
(−b)
( 5 .5.19)
Cette matrice est développable selon les puissances de a et b. Elle se réduit à la
matrice unité 1 1 pour a = 0 et b = 0, et elle se réduit également à 1 1 pour a = 0
ou b = 0. Par conséquent, tous les termes du développement autre que le premier
doivent contenir ab en facteur. Le terme du premier ordre de la matrice N − 1 1 sera
donc de la forme abP, où P est une matrice infinitésimale. Pour obtenir P, il suffit
d’effectuer le produit (5.5.19) en se limitant dans chaque facteur au terme du premier
ordre. On a pour chaque matrice le développement au voisinage de la matrice unité,
donné par (5.5.8) :
R(a) = 1 1 − aL 1 ; R(−a) = 1 1 + aL 1
R
(b) = 1 1 − bL 2 ; R
(−b) = 1 1 + bL 2
(5.5.20)