5.5 Groupe des rotations spatiales
119
➤ Relations de commutation
M
M'
u
du
a
Δ
O
Figure 5.2
On vérifie aisément que les matrices infinitésimales
satisfont aux relations de commutation :
L x L y − L y L x = −L z
L y L z − L z L y = −L x
L z L x − L x L z = −L y
(5.5.10)
Il en est évidemment de même pour les générateurs
infinitésimaux.
5.5.4 Rotation autour d’un axe quelconque
a) Variation infinitésimale d’un vecteur
Considérons un vecteur unitaire u porté par un axe de rotation D (Fig. 5.2).
Soit r = OM un vecteur effectuant une rotation d’un angle du infiniment petit
autour de D. Après rotation, le vecteur r devient r
= OM
. Le vecteur dr = r
− r
est tangent au cercle de rayon r sin a, où a est l’angle que font la droite D et le
vecteur r. Le produit vectoriel (u × r) est perpendiculaire au plan défini par u et r.
Confondant, à la limite, la longueur de l’arc de courbe et la longueur dr, on obtient :
dr = du(u × r)
( 5 .5.11)
b) Opérateur de rotation au voisinage de l’unité
Notons R u (du) une rotation d’un angle du autour d’un axe D. Soit R u (du) l’opérateur
agissant sur des fonctions c(r), d’où :
R u (du)c(r) = c[R
−1
u (du)r]
( 5 .5.12)
Développant en série de Taylor et en se limitant au premier ordre, on obtient :
R u (du)c(r) = c(r − dr) = c(r) −
∂c
∂x
dx −
∂c
∂y
dy −
∂c
∂z
dz
= c(r) − dr · ∇c(r)
( 5 .5.13)
L’expression (5.5.11) de dr nous donne alors :
R u (du)c(r) = c(r) − du(u × r) · ∇c(r)
= [1 − duu · (r × ∇)]c(r)
( 5 .5.14)
Le vecteur (r × ∇) est le vecteur L donné par (5.5.7), d’où l’expression de l’opérateur de rotation infinitésimale au voisinage de l’opérateur unité :
R u (du) = 1 1 − du(u·L)
( 5 .5.15)
Une expression analogue s’écrit pour la matrice infinitésimale de rotation, le vecteur
L ayant alors pour composantes les matrices infinitésimales (5.5.9).
119
➤ Relations de commutation
M
M'
u
du
a
Δ
O
Figure 5.2
On vérifie aisément que les matrices infinitésimales
satisfont aux relations de commutation :
L x L y − L y L x = −L z
L y L z − L z L y = −L x
L z L x − L x L z = −L y
(5.5.10)
Il en est évidemment de même pour les générateurs
infinitésimaux.
5.5.4 Rotation autour d’un axe quelconque
a) Variation infinitésimale d’un vecteur
Considérons un vecteur unitaire u porté par un axe de rotation D (Fig. 5.2).
Soit r = OM un vecteur effectuant une rotation d’un angle du infiniment petit
autour de D. Après rotation, le vecteur r devient r
= OM
. Le vecteur dr = r
− r
est tangent au cercle de rayon r sin a, où a est l’angle que font la droite D et le
vecteur r. Le produit vectoriel (u × r) est perpendiculaire au plan défini par u et r.
Confondant, à la limite, la longueur de l’arc de courbe et la longueur dr, on obtient :
dr = du(u × r)
( 5 .5.11)
b) Opérateur de rotation au voisinage de l’unité
Notons R u (du) une rotation d’un angle du autour d’un axe D. Soit R u (du) l’opérateur
agissant sur des fonctions c(r), d’où :
R u (du)c(r) = c[R
−1
u (du)r]
( 5 .5.12)
Développant en série de Taylor et en se limitant au premier ordre, on obtient :
R u (du)c(r) = c(r − dr) = c(r) −
∂c
∂x
dx −
∂c
∂y
dy −
∂c
∂z
dz
= c(r) − dr · ∇c(r)
( 5 .5.13)
L’expression (5.5.11) de dr nous donne alors :
R u (du)c(r) = c(r) − du(u × r) · ∇c(r)
= [1 − duu · (r × ∇)]c(r)
( 5 .5.14)
Le vecteur (r × ∇) est le vecteur L donné par (5.5.7), d’où l’expression de l’opérateur de rotation infinitésimale au voisinage de l’opérateur unité :
R u (du) = 1 1 − du(u·L)
( 5 .5.15)
Une expression analogue s’écrit pour la matrice infinitésimale de rotation, le vecteur
L ayant alors pour composantes les matrices infinitésimales (5.5.9).