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5 • Les groupes et leurs représentations
Remarquons que les signes des éléments matriciels non-diagonaux de la matrice
R y (b) sont les opposés de ceux des deux autres matrices R x (a) et R z (g). Ceci résulte du sens de la rotation autour de l’axe Oy qui, par convention, est toujours de
sens direct.
Une rotation quelconque peut donc être représentée par le produit des matrices :
R(a, b, g) = R x (a)R y (b)R z (g)
( 5 .5.4)
5.5.3 Opérateurs infinitésimaux
Pour une rotation R z (g), nous pouvons faire un raisonnement identique à celui du
paragraphe 5.4.3 en appliquant l’opérateur associé R z (g) à une fonction F(x, y, z).
Puisque z ne varie pas par rotation autour de l’axe Oz, on retrouve le même opérateur
de rotation infinitésimale, donné par (5.4.12), soit :
L z = x
∂
∂y
− y
∂
∂x
(5.5.5)
Pour des rotations R x (a) et R y (b), un raisonnement analogue à celui utilisé pour les
rotations autour de l’axe Oz, nous donne pour les générateurs infinitésimaux correspondants :
L x = y
∂
∂z
− z
∂
∂y
; L y = z
∂
∂x
− x
∂
∂z
(5.5.6)
Introduisons le vecteur L ayant pour composantes les générateurs infinitésimaux. Ce
vecteur peut s’écrire sous la forme du produit vectoriel :
L = r × ∇
(5.5.7)
Les opérateurs de rotation, pour des angles infinitésimaux de rotation, s’écrivent au
voisinage de l’opérateur unité :
R x (a) = 1 1 − L x a ; R y (b) = 1 1 − L y b ; R z (g) = 1 1 − L z g
(5.5.8)
Les matrices infinitésimales des générateurs infinitésimaux s’obtiennent en prenant
les dérivées des matrices (5.5.2) et (5.5.3) pour un angle nul de rotation. On obtient :
−L x =
⎡
⎢
⎣
0 0
0
0 0 −1
0 1
0
⎤
⎥
⎦ ; −L y =
⎡
⎢
⎣
0 0 1
0 0 0
−1 0 0
⎤
⎥
⎦ ; −L z =
⎡
⎢
⎣
0 −1 0
1
0 0
0
0 0
⎤
⎥
⎦
(5.5.9)
Les matrices de rotation au voisinage de la matrice unité ont des expressions analogues à (5.5.8), en remplaçant les générateurs infinitésimaux par les matrices infinitésimales correspondantes.
5 • Les groupes et leurs représentations
Remarquons que les signes des éléments matriciels non-diagonaux de la matrice
R y (b) sont les opposés de ceux des deux autres matrices R x (a) et R z (g). Ceci résulte du sens de la rotation autour de l’axe Oy qui, par convention, est toujours de
sens direct.
Une rotation quelconque peut donc être représentée par le produit des matrices :
R(a, b, g) = R x (a)R y (b)R z (g)
( 5 .5.4)
5.5.3 Opérateurs infinitésimaux
Pour une rotation R z (g), nous pouvons faire un raisonnement identique à celui du
paragraphe 5.4.3 en appliquant l’opérateur associé R z (g) à une fonction F(x, y, z).
Puisque z ne varie pas par rotation autour de l’axe Oz, on retrouve le même opérateur
de rotation infinitésimale, donné par (5.4.12), soit :
L z = x
∂
∂y
− y
∂
∂x
(5.5.5)
Pour des rotations R x (a) et R y (b), un raisonnement analogue à celui utilisé pour les
rotations autour de l’axe Oz, nous donne pour les générateurs infinitésimaux correspondants :
L x = y
∂
∂z
− z
∂
∂y
; L y = z
∂
∂x
− x
∂
∂z
(5.5.6)
Introduisons le vecteur L ayant pour composantes les générateurs infinitésimaux. Ce
vecteur peut s’écrire sous la forme du produit vectoriel :
L = r × ∇
(5.5.7)
Les opérateurs de rotation, pour des angles infinitésimaux de rotation, s’écrivent au
voisinage de l’opérateur unité :
R x (a) = 1 1 − L x a ; R y (b) = 1 1 − L y b ; R z (g) = 1 1 − L z g
(5.5.8)
Les matrices infinitésimales des générateurs infinitésimaux s’obtiennent en prenant
les dérivées des matrices (5.5.2) et (5.5.3) pour un angle nul de rotation. On obtient :
−L x =
⎡
⎢
⎣
0 0
0
0 0 −1
0 1
0
⎤
⎥
⎦ ; −L y =
⎡
⎢
⎣
0 0 1
0 0 0
−1 0 0
⎤
⎥
⎦ ; −L z =
⎡
⎢
⎣
0 −1 0
1
0 0
0
0 0
⎤
⎥
⎦
(5.5.9)
Les matrices de rotation au voisinage de la matrice unité ont des expressions analogues à (5.5.8), en remplaçant les générateurs infinitésimaux par les matrices infinitésimales correspondantes.