5.5 Groupe des rotations spatiales
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5.5 GROUPE DES ROTATIONS SPATIALES
5.5.1 Groupe SO(3)
Une rotation spatiale peut être caractérisée par son axe et son angle de rotation. La direction de l’axe de rotation peut être repérée par deux angles. Compte tenu de l’angle
de rotation, il faut donc trois paramètres pour caractériser une rotation spatiale.
L’axe de rotation peut également être donné par un vecteur unitaire u porté par
l’axe. Nous noterons R u (u) une rotation dans l’espace d’un angle u autour d’un axe
défini par un vecteur unitaire u.
Considérons l’ensemble de toutes les rotations R u (u) autour de tous les axes passant par un point O donné de l’espace et que nous prendrons comme origine des axes.
Ces rotations forment un groupe puisque le produit de deux rotations est encore une
rotation et que les autres axiomes de définition d’un groupe sont aisément vérifiées.
Les éléments du groupe ne sont pas commutatifs :
R u (u)R u (u
) = R u (u
)R u (u)
( 5 .5.1)
sauf dans le cas de deux rotations successives autour d’un même axe.
Le groupe des rotations R u (u) est appelé le groupe des rotations spatiales et noté
SO(3).
5.5.2 Représentation matricielle à trois dimensions de SO(3)
Considérons comme espace de représentation E 3 celui des vecteurs de l’espace géométrique. Notons e 1 , e 2 , e 3 les vecteurs de base de E 3 . Une rotation quelconque
peut être décomposée en trois rotations successives d’angles a, b, g autour respectivement des axes Ox, Oy, Oz d’un repère cartésien. Notons R x (a), R y (b), R z (g) les
opérateurs correspondant respectivement à chacune de ces rotations.
Une rotation R z (g) autour de l’axe Oz laisse inchangé le vecteur e 3 , et les vecteurs
e 1 et e 2 se transforment selon une rotation plane. On obtient donc la matrice de
rotation représentant l’opérateur R z (g) sur la base de E 3 :
R z (g) =
⎡
⎢
⎣
cos g − sin g 0
sin g cos g 0
0
0
1
⎤
⎥
⎦
(5.5.2)
Les rotations autour de l’axe Ox d’un angle a et autour de Oy d’un angle b correspondent respectivement aux matrices :
R x (a) =
⎡
⎢
⎣
1
0
0
0 cosa − sin a
0 sina cos a
⎤
⎥
⎦ ; R y (b) =
⎡
⎢
⎣
cos b 0 sinb
0
1
0
− sin b 0 cosb
⎤
⎥
⎦
(5.5.3)
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5.5 GROUPE DES ROTATIONS SPATIALES
5.5.1 Groupe SO(3)
Une rotation spatiale peut être caractérisée par son axe et son angle de rotation. La direction de l’axe de rotation peut être repérée par deux angles. Compte tenu de l’angle
de rotation, il faut donc trois paramètres pour caractériser une rotation spatiale.
L’axe de rotation peut également être donné par un vecteur unitaire u porté par
l’axe. Nous noterons R u (u) une rotation dans l’espace d’un angle u autour d’un axe
défini par un vecteur unitaire u.
Considérons l’ensemble de toutes les rotations R u (u) autour de tous les axes passant par un point O donné de l’espace et que nous prendrons comme origine des axes.
Ces rotations forment un groupe puisque le produit de deux rotations est encore une
rotation et que les autres axiomes de définition d’un groupe sont aisément vérifiées.
Les éléments du groupe ne sont pas commutatifs :
R u (u)R u (u
) = R u (u
)R u (u)
( 5 .5.1)
sauf dans le cas de deux rotations successives autour d’un même axe.
Le groupe des rotations R u (u) est appelé le groupe des rotations spatiales et noté
SO(3).
5.5.2 Représentation matricielle à trois dimensions de SO(3)
Considérons comme espace de représentation E 3 celui des vecteurs de l’espace géométrique. Notons e 1 , e 2 , e 3 les vecteurs de base de E 3 . Une rotation quelconque
peut être décomposée en trois rotations successives d’angles a, b, g autour respectivement des axes Ox, Oy, Oz d’un repère cartésien. Notons R x (a), R y (b), R z (g) les
opérateurs correspondant respectivement à chacune de ces rotations.
Une rotation R z (g) autour de l’axe Oz laisse inchangé le vecteur e 3 , et les vecteurs
e 1 et e 2 se transforment selon une rotation plane. On obtient donc la matrice de
rotation représentant l’opérateur R z (g) sur la base de E 3 :
R z (g) =
⎡
⎢
⎣
cos g − sin g 0
sin g cos g 0
0
0
1
⎤
⎥
⎦
(5.5.2)
Les rotations autour de l’axe Ox d’un angle a et autour de Oy d’un angle b correspondent respectivement aux matrices :
R x (a) =
⎡
⎢
⎣
1
0
0
0 cosa − sin a
0 sina cos a
⎤
⎥
⎦ ; R y (b) =
⎡
⎢
⎣
cos b 0 sinb
0
1
0
− sin b 0 cosb
⎤
⎥
⎦
(5.5.3)