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5 • Les groupes et leurs représentations
Pour obtenir une solution de cette équations différentielle, considérons l’opérateur
exponentiel défini par la série (2.1.40), à savoir :
exp(−a L z ) =
∞
n=0
(−aL z )
n
n!
(5.4.17)
La dérivée terme à terme de cette série, par rapport à a, nous donne, puisque L z ne
dépend pas de a :
d
da
exp(−a L z ) = −L z exp(−a L z )
( 5 .4.18)
L’opérateur exp(−a L z ) est donc une solution de l’équation différentielle
(5.4.16) avec la condition initiale R(a = 0) = 1 1, d’où :
R(a) = exp(−a L z )
( 5 .4.19)
L’opérateur infinitésimal L z apparaît dans cette expression et constitue le « générateur » des rotations finies.
5.4.4 Matrice infinitésimale
Considérons la représentation matricielle de SO(2) donnée par les matrices (5.4.6)
des opérateurs R(a). Les éléments de la matrice de l’opérateur dR(a)/da sont les
dérivées des éléments de la matrice représentant l’opérateur R(a). On a donc la matrice :
dR(a)
da
=
− sin a − cos a
cos a − sin a
(5.4.20)
qui représente l’opérateur dR(a)/da sur la base (5.4.3) de l’espace vectoriel E 2 .
Pour a = 0, on a R(a = 0) = 1 1 et la relation (5.4.16) nous donne alors :
−L z =
dR(a)
da
a=0
(5.4.21)
La matrice, notée −L z , représentant l’opérateur −L z s’obtient donc en faisant a = 0
dans l’expression de la matrice (5.4.20), soit :
−L z =
0 −1
1 0
(5.4.22)
On obtient la matrice infinitésimale représentant le générateur infinitésimal du
groupe SO(2). Le développement de la matrice R(a), pour a très petit, au voisinage
de la matrice unité, notée 1 1, peut donc s’écrire :
R(a) = 1 1 − aL z
(5.4.23)
Pour une rotation finie, l’opérateur de rotation R(a) s’écrit sous la forme (5.4.19).
Remplaçant l’opérateur infinitésimal L z par la matrice infinitésimale L z , on obtient
l’expression de la matrice R(a) sous la forme :
R(a) = exp(−aL z )
( 5 .4.24)