5.4 Groupe des rotations dans un plan
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En développant les fonctions cosinus et sinus au voisinage de a = 0 et en se limitant
au premier ordre, on obtient :
dx = x
− x = −yda ; dy = y
− y = xda
(5.4.8)
D’autre part, considérons une fonction F(x, y) dérivable par rapport à x et y. Utilisons
la définition (5.3.6) d’un opérateur R(da) associé à la rotation R (da), agissant sur la
fonction F(x, y) :
R(da)F(x, y) = F[R
−1 (da)(x, y)] = F(x − dx, y − dy)
= F(x, y) −
∂F
∂x
dx −
∂F
∂y
dy
(5.4.9)
En remplaçant dans (5.4.9) dx et dy par leurs expressions respectives (5.4.8), on
obtient :
R(da)F(x, y) =
1 + y
∂
∂x
da − x
∂
∂y
da
F(x, y)
(5.4.10)
La fonction F(x, y) étant quelconque dans cette dernière relation, l’opérateur infinitésimal de rotation a pour expression :
R(da) =
1 + y
∂
∂x
da − x
∂
∂y
da
= 1 1 − L z da
(5.4.11)
avec :
L z = x
∂
∂y
− y
∂
∂x
(5.4.12)
L’opérateur L z est appelé le générateur infinitésimal du groupe des rotation planes.
Cette appellation vient du fait que tout opérateur de rotation finie R(a) peut s’exprimer en fonction de L z . L’égalité (5.4.11) donne l’expression de R(da) au voisinage
de l’opérateur unité, la rotation da étant effectuée au voisinage de a = 0.
b) Rotation finie
Considérons à présent une rotation d’un angle fini. L’opérateur R(a) vérifie la relation :
R(a + da) = R(a)R(da) = R(da)R(a)
( 5 .4.13)
puisque les opérateurs de rotation dans un plan commutent. Reportant l’expression
(5.4.11) de R(da) dans (5.4.13), il vient :
R(a + da) = (11 − L z da)R(a)
( 5 .4.14)
soit encore :
R(a + da) − R(a)
da
= −L z R(a)
( 5 .4.15)
Lorsque da tend vers zéro, on obtient l’expression de la dérivée de l’opérateur de
rotation par rapport au paramètre a, soit :
dR(a)
da
= −L z R(a)
( 5 .4.16)