114
5 • Les groupes et leurs représentations
0
x
z
y
M
m
u
w
r
Figure 5.1
Considérons une rotation R (a) autour de l’axe Oz, dans
le plan xOy. Utilisons la définition (5.3.6) pour l’opérateur de rotation R(a), associé à la rotation R (a), agissant
sur les fonctions d’onde de E 2 . On obtient :
R(a)p x = p x [R
−1 (a)] = f (r) sin u cos(w − a)
= f (r) sin u (cos w cos a + sin w sin a)
= p x cos a + p y sin a
(5.4.4)
On obtient de même :
R(a)p y = p y [R
−1 (a)] = −p x sin a + p y cos a (5.4.5)
Les opérateurs R(a) transforment entre eux les vecteurs de E 2 selon les relations
(5.4.4) et (5.4.5). L’ensemble continu des opérateurs R(a), correspondant chacun
à un angle a différent, constitue une représentation du groupe SO(2) ; l’espace de
représentation est l’espace vectoriel E 2 .
Les éléments matriciels de la matrice R(a) de l’opérateur R(a) sont les composantes des transformées des vecteurs de base, d’où :
R(a) =
cos a − sin a
sin a cos a
(5.4.6)
L’ensemble continu des matrices R(a) constitue une représentation matricielle, de
dimension deux, du groupe SO(2).
Remarque : La matrice de rotation (5.4.6) peut également être obtenue en
considérant comme espace de représentation celui formé par les vecteurs du
plan dans lequel s’effectue la rotation. Dans ce cas, la distinction entre les
rotations R (a) et les opérateurs de rotation R(a) est cependant moins nette
que si l’on considère un espace vectoriel formé de fonctions comme espace de
représentation.
5.4.3 Générateur infinitésimal
a) Rotation infinitésimale
Le paramètre a étant continu, on va pouvoir considérer des rotations infinitésimales
R (da) d’un angle da infiniment petit. À une rotation R (da) on va associer un opérateur infinitésimal R(da).
Nous allons considérer une rotation infinitésimale R (da) au voisinage de l’origine des angles, a = 0. Les formules de transformation (5.4.2) des points du plan
deviennent alors :
x
= x + dx = x cos(da) − y sin(da)
y
= y + dy = x sin(da) + y cos(da)
( 5 .4.7)
5 • Les groupes et leurs représentations
0
x
z
y
M
m
u
w
r
Figure 5.1
Considérons une rotation R (a) autour de l’axe Oz, dans
le plan xOy. Utilisons la définition (5.3.6) pour l’opérateur de rotation R(a), associé à la rotation R (a), agissant
sur les fonctions d’onde de E 2 . On obtient :
R(a)p x = p x [R
−1 (a)] = f (r) sin u cos(w − a)
= f (r) sin u (cos w cos a + sin w sin a)
= p x cos a + p y sin a
(5.4.4)
On obtient de même :
R(a)p y = p y [R
−1 (a)] = −p x sin a + p y cos a (5.4.5)
Les opérateurs R(a) transforment entre eux les vecteurs de E 2 selon les relations
(5.4.4) et (5.4.5). L’ensemble continu des opérateurs R(a), correspondant chacun
à un angle a différent, constitue une représentation du groupe SO(2) ; l’espace de
représentation est l’espace vectoriel E 2 .
Les éléments matriciels de la matrice R(a) de l’opérateur R(a) sont les composantes des transformées des vecteurs de base, d’où :
R(a) =
cos a − sin a
sin a cos a
(5.4.6)
L’ensemble continu des matrices R(a) constitue une représentation matricielle, de
dimension deux, du groupe SO(2).
Remarque : La matrice de rotation (5.4.6) peut également être obtenue en
considérant comme espace de représentation celui formé par les vecteurs du
plan dans lequel s’effectue la rotation. Dans ce cas, la distinction entre les
rotations R (a) et les opérateurs de rotation R(a) est cependant moins nette
que si l’on considère un espace vectoriel formé de fonctions comme espace de
représentation.
5.4.3 Générateur infinitésimal
a) Rotation infinitésimale
Le paramètre a étant continu, on va pouvoir considérer des rotations infinitésimales
R (da) d’un angle da infiniment petit. À une rotation R (da) on va associer un opérateur infinitésimal R(da).
Nous allons considérer une rotation infinitésimale R (da) au voisinage de l’origine des angles, a = 0. Les formules de transformation (5.4.2) des points du plan
deviennent alors :
x
= x + dx = x cos(da) − y sin(da)
y
= y + dy = x sin(da) + y cos(da)
( 5 .4.7)