5.4 Groupe des rotations dans un plan
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5.4 GROUPE DES ROTATIONS DANS UN PLAN
5.4.1 Groupe SO(2)
a) Groupes de Lie
Les groupes de Lie sont des groupes caractérisés par un ou plusieurs paramètres
continus et qui comportent une infinité d’éléments. Ces groupes sont définis de manière générale par un ensemble de propriétés.
Comme nous n’aurons besoin que d’un nombre restreint de groupes de Lie, nous
décrirons directement ces groupes sans nous contraindre à une étude générale que
nous avons abordée dans notre ouvrage cité précédemment.
b) Groupe des rotations dans un plan
Le premier groupe de Lie que nous allons étudier est celui des rotations dans un
plan P autour d’un axe donné, perpendiculaire à ce plan. Ce groupe est appelé
groupe SO(2). L’angle de rotation a est le paramètre continu qui caractérise les éléments du groupe que nous noterons R (a). Le domaine de variation de a est borné,
0 a 2p. Le produit de deux rotations successives est une rotation du groupe
SO(2) telle que :
R (a 1 )R (a 2 ) = R (a 1 + a 2 ) = R (a 3 )
( 5 .4.1)
Le produit de deux rotations est commutatif et le groupe est abélien. La transformation inverse de R (a) est notée R
−1 (a) et égale à R (−a). L’élément identité du
groupe est la rotation d’un angle nul, R (a = 0).
c) Définition analytique d’une rotation
Les rotations R (a) peuvent être considérées comme des applications qui transforment un point (x, y) de l’espace ponctuel à deux dimensions, en un autre point
(x
, y
) du même espace, de sorte qu’on a :
x
= x cos a − y sin a = f 1 (x, y ; a)
y
= x sin a + y cos a = f 2 (x, y ; a)
( 5 .4.2)
Les deux fonctions f 1 (x, y ; a) et f 2 (x, y ; a) définissent analytiquement la rotation
R (a).
5.4.2 Exemple de représentation
Considérons l’espace vectoriel E 2 ayant pour base les fonctions d’onde suivantes,
exprimées en coordonnées sphériques r, u, w décrites sur la figure 5.1 :
p x = f (r) sin u cos w
p y = f (r) sin u sin w
(5.4.3)
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5.4 GROUPE DES ROTATIONS DANS UN PLAN
5.4.1 Groupe SO(2)
a) Groupes de Lie
Les groupes de Lie sont des groupes caractérisés par un ou plusieurs paramètres
continus et qui comportent une infinité d’éléments. Ces groupes sont définis de manière générale par un ensemble de propriétés.
Comme nous n’aurons besoin que d’un nombre restreint de groupes de Lie, nous
décrirons directement ces groupes sans nous contraindre à une étude générale que
nous avons abordée dans notre ouvrage cité précédemment.
b) Groupe des rotations dans un plan
Le premier groupe de Lie que nous allons étudier est celui des rotations dans un
plan P autour d’un axe donné, perpendiculaire à ce plan. Ce groupe est appelé
groupe SO(2). L’angle de rotation a est le paramètre continu qui caractérise les éléments du groupe que nous noterons R (a). Le domaine de variation de a est borné,
0 a 2p. Le produit de deux rotations successives est une rotation du groupe
SO(2) telle que :
R (a 1 )R (a 2 ) = R (a 1 + a 2 ) = R (a 3 )
( 5 .4.1)
Le produit de deux rotations est commutatif et le groupe est abélien. La transformation inverse de R (a) est notée R
−1 (a) et égale à R (−a). L’élément identité du
groupe est la rotation d’un angle nul, R (a = 0).
c) Définition analytique d’une rotation
Les rotations R (a) peuvent être considérées comme des applications qui transforment un point (x, y) de l’espace ponctuel à deux dimensions, en un autre point
(x
, y
) du même espace, de sorte qu’on a :
x
= x cos a − y sin a = f 1 (x, y ; a)
y
= x sin a + y cos a = f 2 (x, y ; a)
( 5 .4.2)
Les deux fonctions f 1 (x, y ; a) et f 2 (x, y ; a) définissent analytiquement la rotation
R (a).
5.4.2 Exemple de représentation
Considérons l’espace vectoriel E 2 ayant pour base les fonctions d’onde suivantes,
exprimées en coordonnées sphériques r, u, w décrites sur la figure 5.1 :
p x = f (r) sin u cos w
p y = f (r) sin u sin w
(5.4.3)