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5 • Les groupes et leurs représentations
Notons G l’opérateur associé à la transformation G qui, agissant sur c(r), donne une
fonction c
(r) telle que :
c
(r) = Gc(r)
( 5 .3.5)
Les formules (5.3.4) et (5.3.5) nous donnent finalement pour définition de l’opérateur
G :
Gc(r) = c(G
−1 r)
( 5 .3.6)
5.3.2 Représentation d’un groupe
Supposons que les fonctions d’onde c forment un espace vectoriel E . Si les transformations G forment un groupe G, nous allons voir que l’ensemble des opérateurs G,
agissant sur les fonctions d’onde, forment une représentation linéaire de G, l’espace
E étant l’espace de représentation. Pour cela, il faut vérifier que les opérateurs G
satisfont bien aux propriétés exigées pour une représentation linéaire.
a) Opérateur linéaire
La linéarité des opérateurs G associés à une transformation G résulte de leur définition même. En effet, considérons deux fonctions d’onde c(r) et f(r) ; on a selon
(5.3.6) :
G[lc + mf](r) = [lc + mf](G
−1 r) = lc(G
−1 r) + mf(G
−1 r)
= lGc(r) + mGf(r)
( 5 .3.7)
ce qui montre la linéarité de l’opérateur G.
b) Propriété d’homomorphie
Les opérateurs d’une représentation doivent vérifier la relation (5.2.6). Notons
G i , G j et G k les opérateurs associés respectivement aux transformations G i , G j et
G k = G j G i . Appliquons successivement les opérateurs G i et G j à une fonction
c(r) ; on obtient :
G j [G i c](r) = [G i c](G
−1
j r) = c[G
−1
i (G
−1
j r)] = c[(G j G i )
−1 r]
= c(G
−1
k r) = G k c(r)
( 5 .3.8)
En termes d’opérateurs, la relation (5.3.8) s’écrit :
G j G i = G k
(5.3.9)
Les opérateurs G conservent donc le produit existant entre les transformations du
groupe. Ils peuvent donc constituer une représentation du groupe G.
Pour un espace de configuration à n coordonnées, x 1 , x 2 , ..., x n , les raisonnements
ci-dessus sont identiques. La formule de définition (5.3.6) d’un opérateur, associé
à une transformation agissant sur l’espace de configuration, est alors semblable, la
fonction c étant une fonction à n variables et r un point de l’espace de configuration.
5 • Les groupes et leurs représentations
Notons G l’opérateur associé à la transformation G qui, agissant sur c(r), donne une
fonction c
(r) telle que :
c
(r) = Gc(r)
( 5 .3.5)
Les formules (5.3.4) et (5.3.5) nous donnent finalement pour définition de l’opérateur
G :
Gc(r) = c(G
−1 r)
( 5 .3.6)
5.3.2 Représentation d’un groupe
Supposons que les fonctions d’onde c forment un espace vectoriel E . Si les transformations G forment un groupe G, nous allons voir que l’ensemble des opérateurs G,
agissant sur les fonctions d’onde, forment une représentation linéaire de G, l’espace
E étant l’espace de représentation. Pour cela, il faut vérifier que les opérateurs G
satisfont bien aux propriétés exigées pour une représentation linéaire.
a) Opérateur linéaire
La linéarité des opérateurs G associés à une transformation G résulte de leur définition même. En effet, considérons deux fonctions d’onde c(r) et f(r) ; on a selon
(5.3.6) :
G[lc + mf](r) = [lc + mf](G
−1 r) = lc(G
−1 r) + mf(G
−1 r)
= lGc(r) + mGf(r)
( 5 .3.7)
ce qui montre la linéarité de l’opérateur G.
b) Propriété d’homomorphie
Les opérateurs d’une représentation doivent vérifier la relation (5.2.6). Notons
G i , G j et G k les opérateurs associés respectivement aux transformations G i , G j et
G k = G j G i . Appliquons successivement les opérateurs G i et G j à une fonction
c(r) ; on obtient :
G j [G i c](r) = [G i c](G
−1
j r) = c[G
−1
i (G
−1
j r)] = c[(G j G i )
−1 r]
= c(G
−1
k r) = G k c(r)
( 5 .3.8)
En termes d’opérateurs, la relation (5.3.8) s’écrit :
G j G i = G k
(5.3.9)
Les opérateurs G conservent donc le produit existant entre les transformations du
groupe. Ils peuvent donc constituer une représentation du groupe G.
Pour un espace de configuration à n coordonnées, x 1 , x 2 , ..., x n , les raisonnements
ci-dessus sont identiques. La formule de définition (5.3.6) d’un opérateur, associé
à une transformation agissant sur l’espace de configuration, est alors semblable, la
fonction c étant une fonction à n variables et r un point de l’espace de configuration.