5.3 Représentation en mécanique quantique
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c) Caractère d’un produit direct
La disposition (5.2.19) des éléments matriciels c ki,lj = a ki b lj montre que la trace de
A ⊗ B est donnée par :
Tr(A ⊗ B) =
i
a ii (Tr B) = (Tr A) (Tr B)
(5.2.20)
Le caractère de la représentation produit direct G p ⊗ G q est égal au produit des
caractères des représentations facteurs, soit :
x(G p ⊗ G q ) = x(G p )x(G q )
( 5 .2.21)
d) Notation d’une matrice
Nous noterons les opérateurs et les matrices par le même symbole, celui des opérateurs étant en italique et celui des matrices en caractères droits. Les représentations
d’un groupe par des opérateurs ou par leurs matrices sont notées de manière identique.
5.3 REPRÉSENTATION EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
5.3.1 Opérateurs agissant sur des fonctions d’onde
Considérons une transformation géométrique G — par exemple, une rotation, une
symétrie par rapport à un plan, etc. — qui transforme un point (x, y, z) de l’espace
tridimensionnel en un point (x
, y
, z
). Écrivons cette transformation de symétrie
sous la forme :
(x
, y
, z
) = G (x, y, z)
( 5 .3.1)
Notons r le point (x, y, z) et r
le point (x
, y
, z
) ; la transformation précédente
s’écrit alors :
r
= G r
(5.3.2)
Soit c(r) la fonction d’onde d’une particule d’un système quantique. Notons c
(r) la
fonction d’onde de cette même particule après application de la transformation G au
système physique. Ce dernier restant physiquement identique à lui-même après cette
transformation, la valeur de la fonction d’onde initiale c(r), au point r, se trouve
égale à la valeur de la fonction d’onde c
(r
), au point r
= G r, soit :
c
(r
) = c(r)
( 5 .3.3)
Puisque r = G
−1 r
, la relation (5.3.3) s’écrit : c
(r
) = c(G
−1 r
). Le point r
étant
un point quelconque de l’espace, on peut écrire cette dernière relation sous la forme
générale :
c
(r) = c(G
−1 r)
( 5 .3.4)