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5 • Les groupes et leurs représentations
a) Décomposition de Clebsch-Gordan
Si les représentations G p et G q sont irréductibles, leur produit direct est en général
réductible. La décomposition de ce produit direct G p ⊗ G q sous la forme d’une
somme directe de représentations irréductibles G k du groupe :
G p ⊗ G q =
k
⊕ a pqk G k
(5.2.15)
s’appelle la décomposition de Clebsch-Gordan.
L’espace vectoriel E p ⊗E q est l’espace de représentation de G p ⊗G q ; d’autre part,
à chaque représentation G k correspond un espace de représentation E k . En conséquence, l’espace E p ⊗ E q se décompose également en une somme directe d’espaces
vectoriels E k :
E p ⊗ E q =
k
⊕ a pqk E k
(5.2.16)
b) Représentation matricielle
Déterminons les matrices des opérateurs (A ⊗ B)(g) = C(g) agissant dans l’espace
E p ⊗ E q . Soient {c i } et {f j } les bases respectives de E p et E q ; notons A et B les
matrices des opérateurs A(g) et B(g), dont les éléments matriciels sont définis par :
A(g)c i =
k
a ki c k ; B(g)f j =
l
b lj f l
(5.2.17)
Utilisant (5.2.17) ainsi que la propriété (2.1.42) du produit tensoriel d’opérateurs, on
obtient :
C(g)(c i ⊗ f j ) =
kl
a ki b lj c k ⊗ f l =
kl
c ki,lj c k ⊗ f l
(5.2.18)
Les quantités c ki,lj = a ki b lj sont les éléments matriciels de la matrice C de l’opérateur
C(g). Nous dirons que C est le produit tensoriel de la matrice A par la matrice
B et nous la noterons C = A ⊗ B. Les matrices C constituent une représentation
matricielle, notée G p ⊗ G q , du groupe G.
Les éléments d’une matrice A ⊗ B sont classés selon la disposition suivante :
C = A ⊗ B =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 11 B a 12 B ... a 1p B
a 21 B a 22 B ... a 2p B
...
... ... ...
a p1 B a p2 B ... a pp B
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(5.2.19)
Les sous-matrices a ij B possèdent des éléments c ki,lj = a ki b lj qui sont classés selon
l’ordre utilisé dans la matrice B.