5.2 Représentation d’un groupe
109
5.2.4 Représentations équivalentes
Soient deux bases {e j } et {e
i } d’un espace vectoriel de représentation V n ; ces bases
sont liées entre elles par les relations :
e
i =
j
A ji e j ; e j =
i
(A
−1 ) ij e
i
(5.2.10)
Notons A et A
−1 les matrices ayant respectivement pour éléments A ji et (A
−1 ) ij .
Soient M(g) et M
(g) les matrices formant respectivement les représentations G n et
G
n obtenues à partir des bases {e j } et {e
i }. On a les relations suivantes entre matrices
équivalentes :
M
(g) = A
−1 M(g)A
(5.2.11)
La représentation G
n , donnée sous forme matricielle M
(g), est dite équivalente (ou
isomorphe) à la représentation G n formée des matrices M(g). Ces deux représentations se déduisant l’une de l’autre par un changement des vecteurs de base ne sont
pas essentiellement différentes et elles pourront être identifiées entre elles selon les
besoins.
Les caractères de représentations équivalentes sont égaux. En effet, on a :
x
(g) = Tr M
(g) = Tr A
−1 M(g)A = Tr A
−1 AM(g) = Tr M(g) = x(g)
5.2.5 Produit direct de représentations
Soient deux espaces de représentation E p et E q d’un groupe G ; notons A(g i ) et B(g i )
les opérateurs linéaires associés à un élément g i de G, agissant respectivement dans
E p et E q et formant les représentations respectives G p et G q .
Montrons que si l’espace E pq = E p ⊗ E q est choisi comme espace de représentation de G, alors l’ensemble des opérateurs :
A(g i ) ⊗ B(g i ) = (A ⊗ B)(g i )
( 5 .2.12)
où g i parcourt tout le groupe, constitue une représentation de G. La plupart des propriétés que doit satisfaire une représentation étant aisées à vérifier, il suffit de démontrer la propriété (5.2.6). Or, utilisant la formule du produit tensoriel de deux
opérateurs, on obtient :
[(A ⊗ B)(g i )][(A ⊗ B)(g k )] = [A(g i )A(g k )] ⊗ [B(g i )B(g k )]
= (A ⊗ B)(g i g k )
( 5 .2.13)
La représentation réalisée par les opérateurs (A ⊗ B)(g i ) s’appelle le produit tensoriel, ou encore le produit direct, des représentations G p et G q ; cette représentation
est notée :
G pq = G p ⊗ G q
(5.2.14)
109
5.2.4 Représentations équivalentes
Soient deux bases {e j } et {e
i } d’un espace vectoriel de représentation V n ; ces bases
sont liées entre elles par les relations :
e
i =
j
A ji e j ; e j =
i
(A
−1 ) ij e
i
(5.2.10)
Notons A et A
−1 les matrices ayant respectivement pour éléments A ji et (A
−1 ) ij .
Soient M(g) et M
(g) les matrices formant respectivement les représentations G n et
G
n obtenues à partir des bases {e j } et {e
i }. On a les relations suivantes entre matrices
équivalentes :
M
(g) = A
−1 M(g)A
(5.2.11)
La représentation G
n , donnée sous forme matricielle M
(g), est dite équivalente (ou
isomorphe) à la représentation G n formée des matrices M(g). Ces deux représentations se déduisant l’une de l’autre par un changement des vecteurs de base ne sont
pas essentiellement différentes et elles pourront être identifiées entre elles selon les
besoins.
Les caractères de représentations équivalentes sont égaux. En effet, on a :
x
(g) = Tr M
(g) = Tr A
−1 M(g)A = Tr A
−1 AM(g) = Tr M(g) = x(g)
5.2.5 Produit direct de représentations
Soient deux espaces de représentation E p et E q d’un groupe G ; notons A(g i ) et B(g i )
les opérateurs linéaires associés à un élément g i de G, agissant respectivement dans
E p et E q et formant les représentations respectives G p et G q .
Montrons que si l’espace E pq = E p ⊗ E q est choisi comme espace de représentation de G, alors l’ensemble des opérateurs :
A(g i ) ⊗ B(g i ) = (A ⊗ B)(g i )
( 5 .2.12)
où g i parcourt tout le groupe, constitue une représentation de G. La plupart des propriétés que doit satisfaire une représentation étant aisées à vérifier, il suffit de démontrer la propriété (5.2.6). Or, utilisant la formule du produit tensoriel de deux
opérateurs, on obtient :
[(A ⊗ B)(g i )][(A ⊗ B)(g k )] = [A(g i )A(g k )] ⊗ [B(g i )B(g k )]
= (A ⊗ B)(g i g k )
( 5 .2.13)
La représentation réalisée par les opérateurs (A ⊗ B)(g i ) s’appelle le produit tensoriel, ou encore le produit direct, des représentations G p et G q ; cette représentation
est notée :
G pq = G p ⊗ G q
(5.2.14)