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5 • Les groupes et leurs représentations
À chaque opérateur G(g) d’une représentation d’un groupe, on peut donc associer
une matrice, notée M(g). L’ensemble des matrices associées à chacun des éléments
du groupe est appelé une représentation donnée sous forme matricielle ou plus brièvement une représentation matricielle du groupe.
La trace d’une matrice M(g) s’appelle le caractère de l’élément g du groupe dans
la représentation considérée. Le caractère est noté x(g), soit :
x(g) = Tr M(g)
( 5 .2.7)
L’ensemble des caractères relatifs à tous les éléments du groupe constitue le caractère de la représentation.
5.2.3 Représentations réductibles et irréductibles
Considérons un espace vectoriel de représentation E n d’un groupe G. Notons G n la
représentation de G.
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces de E n . Si tout vecteur c de E n peut s’écrire de
façon unique sous la forme c = f 1 + f 2 , avec f 1 et f 2 appartenant respectivement
à F 1 et F 2 , on dit que E n est somme directe des deux sous-espaces F 1 et F 2 et l’on
écrit :
E n = F 1 ⊕ F 2
(5.2.8)
a) Somme directe de deux représentations
Supposons que toutes les transformations du groupe G appliquées à n’importe quel
vecteur c 1 du sous-espace F 1 redonnent un vecteur appartenant à F 1 . On dit alors
que le sous-espace est stable par le groupe G.
En conséquence, le sous-espace vectoriel F 1 peut servir d’espace de représentation pour le groupe G. Notons G 1 la représentation définie sur F 1 . D’autre part,
supposons que F 2 soit également stable par le groupe G et serve à former une représentation de G notée G 2 .
On dit que la représentation G n , ayant pour espace de représentation E n , est la
somme directe des représentations G 1 et G 2 et l’on écrit :
G n = G 1 ⊕ G 2
(5.2.9)
b) Définitions
Si aucun sous-espace vectoriel de E n n’est stable par G, on dit que la représentation
G n est irréductible. En d’autres termes, si G n est une représentation irréductible, elle
ne peut pas être décomposée en somme directe de deux ou plusieurs représentations.
Dans le cas contraire, on dit que la représentation est réductible. Par définition,
toute représentation réductible est donc la somme directe de deux ou plusieurs représentations.
5 • Les groupes et leurs représentations
À chaque opérateur G(g) d’une représentation d’un groupe, on peut donc associer
une matrice, notée M(g). L’ensemble des matrices associées à chacun des éléments
du groupe est appelé une représentation donnée sous forme matricielle ou plus brièvement une représentation matricielle du groupe.
La trace d’une matrice M(g) s’appelle le caractère de l’élément g du groupe dans
la représentation considérée. Le caractère est noté x(g), soit :
x(g) = Tr M(g)
( 5 .2.7)
L’ensemble des caractères relatifs à tous les éléments du groupe constitue le caractère de la représentation.
5.2.3 Représentations réductibles et irréductibles
Considérons un espace vectoriel de représentation E n d’un groupe G. Notons G n la
représentation de G.
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces de E n . Si tout vecteur c de E n peut s’écrire de
façon unique sous la forme c = f 1 + f 2 , avec f 1 et f 2 appartenant respectivement
à F 1 et F 2 , on dit que E n est somme directe des deux sous-espaces F 1 et F 2 et l’on
écrit :
E n = F 1 ⊕ F 2
(5.2.8)
a) Somme directe de deux représentations
Supposons que toutes les transformations du groupe G appliquées à n’importe quel
vecteur c 1 du sous-espace F 1 redonnent un vecteur appartenant à F 1 . On dit alors
que le sous-espace est stable par le groupe G.
En conséquence, le sous-espace vectoriel F 1 peut servir d’espace de représentation pour le groupe G. Notons G 1 la représentation définie sur F 1 . D’autre part,
supposons que F 2 soit également stable par le groupe G et serve à former une représentation de G notée G 2 .
On dit que la représentation G n , ayant pour espace de représentation E n , est la
somme directe des représentations G 1 et G 2 et l’on écrit :
G n = G 1 ⊕ G 2
(5.2.9)
b) Définitions
Si aucun sous-espace vectoriel de E n n’est stable par G, on dit que la représentation
G n est irréductible. En d’autres termes, si G n est une représentation irréductible, elle
ne peut pas être décomposée en somme directe de deux ou plusieurs représentations.
Dans le cas contraire, on dit que la représentation est réductible. Par définition,
toute représentation réductible est donc la somme directe de deux ou plusieurs représentations.