5.2 Représentation d’un groupe
107
Considérons un espace de fonctions F(x, y) structuré en espace vectoriel E ; dans
ce cas, les opérateurs R(a) agissent sur les vecteurs de l’espace E . On dit que l’ensemble des opérateurs R(a), associés aux rotations R (a), forme une représentation
du groupe des rotations planes.
5.2.2 Définition d’une représentation d’un groupe
Soit un groupe G dont les éléments sont notés g. Donnons-nous un espace vectoriel
E n de dimension finie n. À chaque élément g du groupe, faisons correspondre un
opérateur G qui, agissant sur un vecteur c de E n , donne un vecteur transformé c
de
E n , tel que :
c
= Gc
(5.2.3)
Choisissons de plus un opérateur G linéaire, c’est-à-dire tel que :
G(lc + mc) = lGc + mGc
(5.2.4)
Enfin, imposons aux opérateurs associés G la propriété d’homomorphie (5.1.12).
Soient trois éléments de G : g i , g j , g k , tels que g i g j = g k , et soient G(g i ), G(g j ), G(g k )
leurs opérateurs associés respectifs ; ces derniers doivent être tels que, appliqués à un
vecteur c de E n , on ait :
G(g i )[G(g j )c] = G(g k )c = G(g i g j )c
(5.2.5)
Autrement dit, les opérateurs associés doivent vérifier la relation d’homomorphie
(5.1.12) :
G(g i )G(g j ) = G(g i g j )
( 5 .2.6)
Ainsi l’opérateur G(g k ) associé au produit g i g j de deux éléments du groupe doit correspondre au produit des opérateurs associés respectivement à chacun des éléments
g i et g j .
Supposons qu’à chaque élément du groupe G, on ait fait correspondre un opérateur linéaire G pouvant agir sur les éléments d’un espace vectoriel E n et vérifiant la
propriété (5.2.6). On dit que ces opérateurs représentent le groupe G ou encore qu’ils
forment une représentation linéaire du groupe.
L’espace vectoriel E n est appelé espace de représentation du groupe G. La dimension de E n s’appelle la dimension de la représentation. Une représentation est donc
un ensemble d’opérateurs que nous noterons généralement par les symboles G ou D.
De manière plus générale, si un groupe T d’opérateurs linéaires agissant sur un
espace vectoriel E n est homomorphe au groupe G, on dit que le groupe T constitue
une représentation du groupe G.
➤ Représentation matricielle
Les opérateurs agissant sur des vecteurs sont des êtres mathématiques définis indépendamment de toute base de l’espace vectoriel considéré. Le choix d’une base
permet d’écrire la matrice d’un opérateur sur cette base comme nous l’avons vu au
cours du chapitre 2.
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Considérons un espace de fonctions F(x, y) structuré en espace vectoriel E ; dans
ce cas, les opérateurs R(a) agissent sur les vecteurs de l’espace E . On dit que l’ensemble des opérateurs R(a), associés aux rotations R (a), forme une représentation
du groupe des rotations planes.
5.2.2 Définition d’une représentation d’un groupe
Soit un groupe G dont les éléments sont notés g. Donnons-nous un espace vectoriel
E n de dimension finie n. À chaque élément g du groupe, faisons correspondre un
opérateur G qui, agissant sur un vecteur c de E n , donne un vecteur transformé c
de
E n , tel que :
c
= Gc
(5.2.3)
Choisissons de plus un opérateur G linéaire, c’est-à-dire tel que :
G(lc + mc) = lGc + mGc
(5.2.4)
Enfin, imposons aux opérateurs associés G la propriété d’homomorphie (5.1.12).
Soient trois éléments de G : g i , g j , g k , tels que g i g j = g k , et soient G(g i ), G(g j ), G(g k )
leurs opérateurs associés respectifs ; ces derniers doivent être tels que, appliqués à un
vecteur c de E n , on ait :
G(g i )[G(g j )c] = G(g k )c = G(g i g j )c
(5.2.5)
Autrement dit, les opérateurs associés doivent vérifier la relation d’homomorphie
(5.1.12) :
G(g i )G(g j ) = G(g i g j )
( 5 .2.6)
Ainsi l’opérateur G(g k ) associé au produit g i g j de deux éléments du groupe doit correspondre au produit des opérateurs associés respectivement à chacun des éléments
g i et g j .
Supposons qu’à chaque élément du groupe G, on ait fait correspondre un opérateur linéaire G pouvant agir sur les éléments d’un espace vectoriel E n et vérifiant la
propriété (5.2.6). On dit que ces opérateurs représentent le groupe G ou encore qu’ils
forment une représentation linéaire du groupe.
L’espace vectoriel E n est appelé espace de représentation du groupe G. La dimension de E n s’appelle la dimension de la représentation. Une représentation est donc
un ensemble d’opérateurs que nous noterons généralement par les symboles G ou D.
De manière plus générale, si un groupe T d’opérateurs linéaires agissant sur un
espace vectoriel E n est homomorphe au groupe G, on dit que le groupe T constitue
une représentation du groupe G.
➤ Représentation matricielle
Les opérateurs agissant sur des vecteurs sont des êtres mathématiques définis indépendamment de toute base de l’espace vectoriel considéré. Le choix d’une base
permet d’écrire la matrice d’un opérateur sur cette base comme nous l’avons vu au
cours du chapitre 2.