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5 • Les groupes et leurs représentations
f) Groupes isomorphes
Soient deux groupes G et H de même ordre tels qu’à chaque élément g i de G on
puisse faire correspondre un élément h i de H avec une correspondance biunivoque.
De plus cette correspondance doit conserver le produit, c’est-à-dire être telle que si
g i correspond à h i et g j à h j , alors à l’élément g i g j correspond l’élément h i h j . Dans ce
cas, on dit que les groupes G et H sont des groupes isomorphes.
g) Groupes homomorphes
Considérons un groupe G à tout élément duquel on peut associer un élément et un
seul d’un autre groupe H. Par contre, à tout élément de H peut être associé au moins
un élément du groupe G et donc éventuellement plusieurs. Si de plus cette correspondance conserve le produit au sens indiqué pour les groupes isomorphes, alors on
dit que les deux groupes sont homomorphes.
Notons les éléments de G sous la forme : g i = G(h i ), rappelant ainsi la correspondance entre les éléments des deux groupes. La conservation du produit entre éléments
correspondants s’écrit alors :
G(h i )G(h j ) = G(h i h j )
( 5 .1.12)
La formule (5.1.12) sera appelée par la suite la propriété d’homomorphie des
groupes.
5.2 REPRÉSENTATION D’UN GROUPE
5.2.1 Exemple de représentation
Considérons les rotations d’un angle a, notées R (a) dans un plan P autour d’un axe
D perpendiculaire à ce plan. On vérifie aisément que l’ensemble des rotations R (a),
0 a 2p, forme un groupe qui possède une infinité continue d’éléments.
Une rotation R (a) transforme un point (x, y) du plan P en un autre point (x
, y
).
Écrivons cette transformation sous la forme :
R (a)(x, y) = (x
, y
)
( 5 .2.1)
Soit F(x, y) une fonction définie en chaque point du plan P . Appelons opérateur
de rotation R(a), l’opérateur qui agissant sur la fonction F(x, y) la transforme en
F(x
, y
), soit :
F(x
, y
) = R(a)F(x, y)
( 5 .2.2)
À chaque rotation R (a), on peut associer un opérateur de rotation R(a) défini par
(5.2.2). On dit que la transformation sur F(x, y) est induite par R (a) sur le point
(x, y). Remarquons que les rotations R (a) agissent sur l’espace ponctuel formé par
les points du plan alors que l’opérateur associé R(a) agit dans l’espace des fonctions
F(x, y).
5 • Les groupes et leurs représentations
f) Groupes isomorphes
Soient deux groupes G et H de même ordre tels qu’à chaque élément g i de G on
puisse faire correspondre un élément h i de H avec une correspondance biunivoque.
De plus cette correspondance doit conserver le produit, c’est-à-dire être telle que si
g i correspond à h i et g j à h j , alors à l’élément g i g j correspond l’élément h i h j . Dans ce
cas, on dit que les groupes G et H sont des groupes isomorphes.
g) Groupes homomorphes
Considérons un groupe G à tout élément duquel on peut associer un élément et un
seul d’un autre groupe H. Par contre, à tout élément de H peut être associé au moins
un élément du groupe G et donc éventuellement plusieurs. Si de plus cette correspondance conserve le produit au sens indiqué pour les groupes isomorphes, alors on
dit que les deux groupes sont homomorphes.
Notons les éléments de G sous la forme : g i = G(h i ), rappelant ainsi la correspondance entre les éléments des deux groupes. La conservation du produit entre éléments
correspondants s’écrit alors :
G(h i )G(h j ) = G(h i h j )
( 5 .1.12)
La formule (5.1.12) sera appelée par la suite la propriété d’homomorphie des
groupes.
5.2 REPRÉSENTATION D’UN GROUPE
5.2.1 Exemple de représentation
Considérons les rotations d’un angle a, notées R (a) dans un plan P autour d’un axe
D perpendiculaire à ce plan. On vérifie aisément que l’ensemble des rotations R (a),
0 a 2p, forme un groupe qui possède une infinité continue d’éléments.
Une rotation R (a) transforme un point (x, y) du plan P en un autre point (x
, y
).
Écrivons cette transformation sous la forme :
R (a)(x, y) = (x
, y
)
( 5 .2.1)
Soit F(x, y) une fonction définie en chaque point du plan P . Appelons opérateur
de rotation R(a), l’opérateur qui agissant sur la fonction F(x, y) la transforme en
F(x
, y
), soit :
F(x
, y
) = R(a)F(x, y)
( 5 .2.2)
À chaque rotation R (a), on peut associer un opérateur de rotation R(a) défini par
(5.2.2). On dit que la transformation sur F(x, y) est induite par R (a) sur le point
(x, y). Remarquons que les rotations R (a) agissent sur l’espace ponctuel formé par
les points du plan alors que l’opérateur associé R(a) agit dans l’espace des fonctions
F(x, y).