5.1 Définition d’un groupe
105
Si l’on considère, par exemple, trois éléments a, b, c, cela signifie qu’on a pour
l’inverse :
(abc)
−1 = c
−1 b
−1 a
−1
(5.1.7)
La démonstration de ce théorème est immédiate. Utilisant la propriété d’associativité,
il vient :
(abc)(c
−1 b
−1 a
−1 ) = ab(cc
−1 )b
−1 a
−1 = ab(e)b
−1 a
−1 = aea
−1 = e
(5.1.8)
L’élément (c
−1 b
−1 a
−1 ) est bien l’inverse de (abc) puisque le produit de ces deux
éléments donne l’élément neutre e ; on vérifie ainsi la relation (5.1.7).
c) Commutativité
En général la multiplication entre les éléments d’un groupe n’est pas commutative :
ab = ba
(5.1.9)
Si tous les éléments d’un groupe sont commutatifs, un tel groupe est appelé groupe
abélien.
d) Sous-groupes
À l’intérieur d’un groupe G, on peut éventuellement trouver divers ensembles d’éléments de G qui forment des groupes plus petits ; ces sous-ensembles sont appelés des
sous-groupes.
Ainsi l’élément neutre e est en lui-même un groupe d’ordre un. L’élément neutre
appartient évidemment à tous les sous-groupes d’un groupe donné. De manière générale, un élément d’un groupe peut appartenir à différents sous-groupes.
e) Groupe produit
Soient deux groupes finis G et H d’ordre respectif g et h, dont les éléments sont
respectivement g 1 , g 2 , ..., g g et h 1 , h 2 , ..., h h .
Supposons que tous les éléments de G soient distincts de ceux de H, à part l’identité e. Considérons alors toutes les paires (g i , h j ). On obtient un nouvel ensemble de
gh éléments qui peut être considéré comme un groupe en choisissant comme définition du produit de deux paires quelconques, (g i , h j ) et (g k , h l ), la formule :
(g i , h j )(g k , h l ) = (g i g k , h j h l ) = (g m , h q )
( 5 .1.10)
On appelle produit direct de G par H ce nouvel ensemble et on le note G ⊗ H ; son
ordre est égal à gh.
Un cas important de produit direct est celui où les groupes G et H sont euxmêmes des sous-groupes d’un même groupe dont tous les éléments de G et de H
commutent. Dans ce cas, les paires (g i , h j ) s’identifient aux produits g i h j , au sens
de la loi du groupe. Le produit de deux paires quelconques vérifie évidemment la
formule (5.1.10) :
(g i h j )(g k h l ) = g i h j g k h l = (g i g k )(h j h l ) = (g m h q )
( 5 .1.11)
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Si l’on considère, par exemple, trois éléments a, b, c, cela signifie qu’on a pour
l’inverse :
(abc)
−1 = c
−1 b
−1 a
−1
(5.1.7)
La démonstration de ce théorème est immédiate. Utilisant la propriété d’associativité,
il vient :
(abc)(c
−1 b
−1 a
−1 ) = ab(cc
−1 )b
−1 a
−1 = ab(e)b
−1 a
−1 = aea
−1 = e
(5.1.8)
L’élément (c
−1 b
−1 a
−1 ) est bien l’inverse de (abc) puisque le produit de ces deux
éléments donne l’élément neutre e ; on vérifie ainsi la relation (5.1.7).
c) Commutativité
En général la multiplication entre les éléments d’un groupe n’est pas commutative :
ab = ba
(5.1.9)
Si tous les éléments d’un groupe sont commutatifs, un tel groupe est appelé groupe
abélien.
d) Sous-groupes
À l’intérieur d’un groupe G, on peut éventuellement trouver divers ensembles d’éléments de G qui forment des groupes plus petits ; ces sous-ensembles sont appelés des
sous-groupes.
Ainsi l’élément neutre e est en lui-même un groupe d’ordre un. L’élément neutre
appartient évidemment à tous les sous-groupes d’un groupe donné. De manière générale, un élément d’un groupe peut appartenir à différents sous-groupes.
e) Groupe produit
Soient deux groupes finis G et H d’ordre respectif g et h, dont les éléments sont
respectivement g 1 , g 2 , ..., g g et h 1 , h 2 , ..., h h .
Supposons que tous les éléments de G soient distincts de ceux de H, à part l’identité e. Considérons alors toutes les paires (g i , h j ). On obtient un nouvel ensemble de
gh éléments qui peut être considéré comme un groupe en choisissant comme définition du produit de deux paires quelconques, (g i , h j ) et (g k , h l ), la formule :
(g i , h j )(g k , h l ) = (g i g k , h j h l ) = (g m , h q )
( 5 .1.10)
On appelle produit direct de G par H ce nouvel ensemble et on le note G ⊗ H ; son
ordre est égal à gh.
Un cas important de produit direct est celui où les groupes G et H sont euxmêmes des sous-groupes d’un même groupe dont tous les éléments de G et de H
commutent. Dans ce cas, les paires (g i , h j ) s’identifient aux produits g i h j , au sens
de la loi du groupe. Le produit de deux paires quelconques vérifie évidemment la
formule (5.1.10) :
(g i h j )(g k h l ) = g i h j g k h l = (g i g k )(h j h l ) = (g m h q )
( 5 .1.11)