104
5 • Les groupes et leurs représentations
5.1.2 Axiomes de définition d’un groupe
Pour qu’un ensemble d’éléments a, b, c, ..., forme un groupe mathématique, noté G ,
il faut que soient vérifiées les règles suivantes.
• Le produit de deux éléments quelconques, a et b, du groupe doit être un élément c
du groupe. Celui-ci doit donc être muni d’une loi de composition interne, à savoir :
ab = c = élément de G
(5.1.1)
• La multiplication des éléments du groupe doit être associative :
a(bc) = (ab)c
(5.1.2)
• Il doit exister un élément du groupe qui commute avec tous les autres et les laisse
inchangés. On note cet élément par la lettre e ; c’est l’élément identité ou élément
neutre. On a donc pour tout élément a quelconque de G :
ea = ae = a
(5.1.3)
• Un élément, noté a
−1 , est dit inverse de a si l’on a :
a
−1 a = aa
−1 = e
(5.1.4)
Chaque élément a doit avoir un élément inverse qui appartienne aussi à G.
5.1.3 Propriétés élémentaires des groupes
Le nombre d’éléments d’un groupe fini est appelé son ordre.Le produit d’un élément
a quelconque d’un groupe G avec lui-même doit évidemment être un élément du
groupe, soit : aa = élément de G. Le produit aa peut être appelé le carré de a et noté
a
2 .
a) Élément neutre
L’élément neutre d’un groupe est unique. En effet, si e et e
satisfont tous deux à la
définition (5.1.3), on a :
e = e
e = ee
= e
(5.1.5)
b) Inverse
L’inverse a
−1 d’un élément a est déterminé de manière unique. En effet, si b est un
inverse de a, on a selon la définition (5.1.4) :
ba = ab = e
d’où :
b = e b = (a
−1 a)b = a
−1 (ab) = a
−1 e = a
−1
(5.1.6)
On a le théorème suivant relatif à l’inverse d’un produit :
L’inverse d’un produit de deux ou plusieurs éléments est égal au produit des
inverses pris dans l’ordre inverse.