Chapitre 5
Les groupes et leurs représentations
5.1 DÉFINITION D’UN GROUPE
5.1.1 Intérêt de la théorie des groupes
Nombre de systèmes physiques, classiques ou quantiques, possèdent des propriétés
de symétrie. Ainsi un atome isolé reste identique à lui-même lors d’une rotation par
rapport à un axe passant par le centre de son noyau. Il en est de même pour toute
réflexion dans un plan passant également par son centre.
La connaissance des propriétés géométriques fondamentales des transformations
de symétrie permet de déterminer certaines propriétés quantiques et d’en avoir ainsi
une compréhension approfondie. Or ces opérations de symétrie forment des groupes,
au sens mathématique du terme. De plus, la théorie des groupes ne se limite pas aux
seuls groupes de symétrie mais s’intéresse également aux permutations qui jouent
un rôle fondamental vis-à-vis des propriétés des systèmes de particules identiques.
D’autres groupes, plus abstraits, jouent également des rôles importants en mécanique quantique et nous aurons l’occasion de le voir, par exemple, lors de l’étude des
spineurs.
Dès 1927, des théoriciens comme Wigner et von Neumann ont fait un large usage
de la théorie des représentations des groupes de permutations et de rotations, mettant
en évidence les propriétés de l’équation de Schrödinger. La théorie des groupes intervient dès les fondements de la mécanique quantique ainsi que nous le verrons lors
de l’étude du moment cinétique. Les applications des groupes se retrouvent en atomistique, spectroscopie, vibrations moléculaires et cristallines, liaisons chimiques,
particules élémentaires, etc. Nous renvoyons le lecteur à notre ouvrage
½ sur la théorie des groupes pour une étude détaillée de ces applications.
1. J. HLADIK. La théorie des groupes en physique et chimie quantiques. Masson (1995).
Les groupes et leurs représentations
5.1 DÉFINITION D’UN GROUPE
5.1.1 Intérêt de la théorie des groupes
Nombre de systèmes physiques, classiques ou quantiques, possèdent des propriétés
de symétrie. Ainsi un atome isolé reste identique à lui-même lors d’une rotation par
rapport à un axe passant par le centre de son noyau. Il en est de même pour toute
réflexion dans un plan passant également par son centre.
La connaissance des propriétés géométriques fondamentales des transformations
de symétrie permet de déterminer certaines propriétés quantiques et d’en avoir ainsi
une compréhension approfondie. Or ces opérations de symétrie forment des groupes,
au sens mathématique du terme. De plus, la théorie des groupes ne se limite pas aux
seuls groupes de symétrie mais s’intéresse également aux permutations qui jouent
un rôle fondamental vis-à-vis des propriétés des systèmes de particules identiques.
D’autres groupes, plus abstraits, jouent également des rôles importants en mécanique quantique et nous aurons l’occasion de le voir, par exemple, lors de l’étude des
spineurs.
Dès 1927, des théoriciens comme Wigner et von Neumann ont fait un large usage
de la théorie des représentations des groupes de permutations et de rotations, mettant
en évidence les propriétés de l’équation de Schrödinger. La théorie des groupes intervient dès les fondements de la mécanique quantique ainsi que nous le verrons lors
de l’étude du moment cinétique. Les applications des groupes se retrouvent en atomistique, spectroscopie, vibrations moléculaires et cristallines, liaisons chimiques,
particules élémentaires, etc. Nous renvoyons le lecteur à notre ouvrage
½ sur la théorie des groupes pour une étude détaillée de ces applications.
1. J. HLADIK. La théorie des groupes en physique et chimie quantiques. Masson (1995).