102
4 • Oscillateur harmonique
4. L’hamiltonien H = H 0 + H 12 s’écrit avec les nouvelles variables et les nouveaux opérateurs :
H =
1
2m
P
2
s +
1
2
k −
2q
2
R 3
x
2
s
+
1
2m
P
2
a +
1
2
k +
2q
2
R 3
x
2
a
(6)
5. L’hamiltonien H est la somme de deux hamiltoniens d’oscillateurs harmoniques dont les
fréquences respectives sont :
v 1 =
k − 2q 2 /R 3
m
; v 2 =
k + 2q 2 /R 3
m
(7)
Posons : v 0 =
k/m. Un développement limité des racines carrées au deuxième ordre donne
pour approximation des fréquences :
v 1 v 0
1 −
q
2
kR 3 −
1
2
q
2
kR 3
2
; v 2 v 0
1 +
q
2
kR 3 −
1
2
q
2
kR 3
2
(8)
6. S’il n’y avait pas de couplage, l’énergie la plus basse du système des deux oscillateurs
serait : E 0 = v 0 . Or, par suite du couplage, l’énergie la plus basse du système diminue. En
effet, l’hamiltonien H a pour plus petite valeur propre :
E
c
0 =
1
2
(v 1 + v 2 ) = v 0 −
v 0
2
q
2
kR 3
2
(9)
L’énergie d’interaction entre les oscillateurs chargés est donc égale à :
DE = E
c
0 − E 0 = −
v 0
2
q
2
kR 3
2
= −
C
R 6
(10)
avec :
C =
v 0 q
4
2k 2
(11)
La force d’interaction est attractive et varie en R
−7 ; cette force est appelée force de Van
der Waals ou force d’interaction dipôle-dipôle. C’est la principale force attractive dans les
cristaux de gaz rares.