Exercices
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1. Écrire l’hamiltonien H 0 du système de deux oscillateurs harmoniques
sans charge, donc sans interaction mutuelle. On note P 1 et P 2 les opérateurs
d’impulsion de chaque atome oscillant.
2. Écrire l’hamiltonien H 12 représentant l’énergie de couplage entre les
deux oscillateurs chargés.
3. Calculer le développement limité de H 12 dans l’approximation de faibles
oscillations par rapport à la distance R, en se limitant à l’ordre le plus bas.
—
+
+
R
x 1
x 2
—
Figure 4.6
4. Avec l’approximation calculée dans la question 3, déterminer l’expression de l’hamiltonien H = H 0 + H 12 en utilisant les transformations suivantes :
x 1 =
1
√
2
(x s + x a ) ; x 2 =
1
√
2
(x s − x a )
(1)
P 1 =
1
√
2
(P s + P a ) ; P 2 =
1
√
2
(P s − P a )
(2)
5. Déterminer la fréquence propre de chacun des oscillateurs couplés et
calculer, au deuxième ordre, une approximation pour chaque fréquence.
6. Déterminer l’énergie d’interaction entre les oscillateurs dans leur état
fondamental.
Solution.
1. L’hamiltonien du système de deux oscillateurs sans interaction est :
H 0 =
1
2m
P
2
1 +
1
2
kx
2
1 +
1
2m
P
2
2 +
1
2
kx
2
2
(3)
où P 1 et P 2 sont les opérateurs d’impulsion respectifs des atomes 1 et 2 de masse m chacun.
Les constantes k de rappel sont identiques.
2. Les charges ±q exercent entre elles des interactions dont l’énergie est :
H 12 = q
2
1
R
+
1
R + x 1 − x 2
−
1
R + x 1
−
1
R − x 2
(4)
3. Le développement en série de chaque terme de H 12 , en fonction de x 1 /R et x 2 /R donne, à
l’ordre le plus bas :
H 12 −
2q
2 x 1 x 2
R 3
(5)