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4 • Oscillateur harmonique
4. La fonction d’onde c a (Q) de l’état quasi-classique |a est la fonction propre de l’opérateur
A en réalisation −|Q, ce dernier figurant dans (4.4.7), soit :
Ac a (Q) =
1
√
2
Q +
d
dQ
c a (Q) = ac a (Q)
( 8 )
d’où :
c a (Q) = C exp
−
Q − a
√
2
2
2
(9)
5. Les vecteurs propres de H vérifient l’équation de Schrödinger :
i
d
dt
|c(t) = H|c(t)
(10)
Pour des états stationnaires, on a : H|c n (t) = E n |c n (t), d’où :
|c n (t) = |n exp
−
iE n t
(11)
6. Si |c(0) = |a, les expressions (1) et (11) nous donnent :
|c(t) = e
−|a|
2 /2
n
a
n
√
n!
e
−iEnt/
|n
(12)
Exercice 4.6. Forces de Van der Waals
Cristaux de gaz rares
Les gaz rares (néon, argon, krypton, etc.) forment des cristaux, à basse
température, où les atomes s’empilent d’une manière aussi compacte que
possible : les structures cristallines sont cubiques à faces centrées.
Les couches électroniques externes des atomes étant complètement remplies, la distribution des charges dans l’atome libre est à symétrie sphérique. Si la distribution des charges sur les atomes était fixe, l’interaction
entre ces derniers serait nulle, le potentiel électrostique du noyau compensant celui de la distribution électronique sphérique. Les atomes du gaz
inerte ne pourraient alors manifester aucune cohésion entre eux et ne se
condenseraient pas sous forme solide. Mais la mobilité des charges des
atomes induit entre ceux-ci des moments dipolaires qui engendrent une attraction entre les atomes. Cette force d’attraction est appelée force de Van
der Waals.
L’exercice suivant a pour but d’étudier ce phénomène d’interaction dipôledipôle entre deux atomes, en considérant un modèle linéaire simplifié.
Oscillateurs harmoniques couplés
Deux atomes sont assimilés à deux oscillateurs harmoniques linéaires identiques portant chacun des charges ±q distantes respectivement entre elles
de x 1 et x 2 , ainsi que le montre la figure 4.6.
4 • Oscillateur harmonique
4. La fonction d’onde c a (Q) de l’état quasi-classique |a est la fonction propre de l’opérateur
A en réalisation −|Q, ce dernier figurant dans (4.4.7), soit :
Ac a (Q) =
1
√
2
Q +
d
dQ
c a (Q) = ac a (Q)
( 8 )
d’où :
c a (Q) = C exp
−
Q − a
√
2
2
2
(9)
5. Les vecteurs propres de H vérifient l’équation de Schrödinger :
i
d
dt
|c(t) = H|c(t)
(10)
Pour des états stationnaires, on a : H|c n (t) = E n |c n (t), d’où :
|c n (t) = |n exp
−
iE n t
(11)
6. Si |c(0) = |a, les expressions (1) et (11) nous donnent :
|c(t) = e
−|a|
2 /2
n
a
n
√
n!
e
−iEnt/
|n
(12)
Exercice 4.6. Forces de Van der Waals
Cristaux de gaz rares
Les gaz rares (néon, argon, krypton, etc.) forment des cristaux, à basse
température, où les atomes s’empilent d’une manière aussi compacte que
possible : les structures cristallines sont cubiques à faces centrées.
Les couches électroniques externes des atomes étant complètement remplies, la distribution des charges dans l’atome libre est à symétrie sphérique. Si la distribution des charges sur les atomes était fixe, l’interaction
entre ces derniers serait nulle, le potentiel électrostique du noyau compensant celui de la distribution électronique sphérique. Les atomes du gaz
inerte ne pourraient alors manifester aucune cohésion entre eux et ne se
condenseraient pas sous forme solide. Mais la mobilité des charges des
atomes induit entre ceux-ci des moments dipolaires qui engendrent une attraction entre les atomes. Cette force d’attraction est appelée force de Van
der Waals.
L’exercice suivant a pour but d’étudier ce phénomène d’interaction dipôledipôle entre deux atomes, en considérant un modèle linéaire simplifié.
Oscillateurs harmoniques couplés
Deux atomes sont assimilés à deux oscillateurs harmoniques linéaires identiques portant chacun des charges ±q distantes respectivement entre elles
de x 1 et x 2 , ainsi que le montre la figure 4.6.