Exercices
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Exercice 4.5. États quasi-classiques
On étudie quelques propriétés des états propres de l’opérateur
A = (Q + iP)/
√
2,
appelés états quasi-classiques. Les notations sont celles employées précédemment lors de l’étude de l’oscillateur harmonique.
1. Soit |n un état propre de l’hamiltonien H de l’oscillateur harmonique ;
a un nombre complexe quelconque ; démontrer que l’état :
|a = e
−|a|
2 /2
n
a
n
√
n!
|n
(1)
est un état propre de A pour la valeur propre a.
2. Calculer la norme de |a.
3. Calculer les valeurs moyennes des opérateurs H, Q et P, lorsque le
système se trouve dans un état |a.
4. Déterminer la fonction d’onde c a (Q) correspondant à l’état quasiclassique |a.
5. Soit E n l’énergie d’un état stationnaire de l’oscillateur harmonique et
|n son état initial correspondant. Déterminer l’expression du vecteur d’état
|c n (t).
6. À l’instant initial t = 0, le système est préparé dans l’état |c(0) = |a.
Écrire le développement de |c(t) sur la base {|n}.
Solution.
1. La relation (4.2.17) donne : A|n =
√
n|n − 1 d’où, compte tenu de (1) :
A|a = e
−|a|
2 /2
n
a
n
√
n!
A|n = e
−|a|
2 /2
n
a
n
√
n!
√
n |n − 1
= a e
−|a|
2 /2
n
a
n
√
n!
|n = a|a
(3)
2. Le carré de la norme de |a donne :
a | a = e
−|a|
2
n
|a|
2n
n!
= e
−|a|
2
e
|a|
2
= 1
( 4 )
3. Valeurs moyennes dans l’état |a :
Énergie : E = a|H|a = va|A
† A +
1
2
|a = v
|a|
2 +
1
2
(5)
Position : Q = a|Q|a = a|
A + A
†
√
2
|a =
a + a
∗
√
2
(6)
Impulsion : P = a|
A − A
†
i
√
2
|a = i
a
∗
− a
√
2
(7)