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4 • Oscillateur harmonique
Toutes les énergies de l’oscillateur harmonique sont déplacées par le champ électrique d’une
valeur fixe. Les fonctions propres correspondantes sont données par (4.4.13) en changeant la
variable x en [x − (qE /mv
2 )].
Exercice 4.3. Expression de l’opérateur (A † )
n
1. Démontrer l’identité suivante entre opérateurs :
A
† =
Q −
d
dQ
= −e
Q
2 /2 d
dQ
e
−Q
2 /2
(1)
2. Déterminer l’expression de (A
† )
n en fonction de (d/dQ)
n exp(−Q
2 /2).
Solution.
1. Appliquons l’opérateur −e
Q
2 /2 d
dQ
e
−Q
2 /2 à une fonction F(Q) :
−e
Q
2 /2 d
dQ
e
−Q
2 /2 F(Q)
=
Q −
d
dQ
F(Q)
( 2 )
La fonction F(Q) étant quelconque, on obtient bien l’identité (1) entre opérateurs.
2. Calculons les produits (A
† )
2 et (A
† )
3 ; on peut généraliser les expressions obtenues sous la
forme :
(A
† )
n = (−1)
n e
Q
2 /2
d
dQ
n
e
−Q
2 /2
(3)
L’expression (3) est également vérifiée pour n = 1. Le calcul de A
† (A
† )
n nous donne :
−e
Q
2 /2 d
dQ
e
−Q
2 /2
(−1)
n e
Q
2 /2
d
dQ
n
e
−Q
2 /2
= (−1)
n+1 e
Q
2 /2
d
dQ
n+1
e
−Q
2 /2
(4)
L’expression de (A
† )
n est ainsi démontrée par récurrence.
Exercice 4.4. Spectre de vibrations de l’oxyde de carbone
Le spectre d’absorption de la molécule d’oxyde de carbone CO montre un
pic d’absorption pour une longueur d’onde l = 4, 673 mm. Cette absorption correspond à la transition de l’état fondamental |0 à l’état |1.
1. Quelle est l’énergie absorbée lors de cette transition ?
2. Calculer la constante de force k de l’oscillateur harmonique que forme
cette molécule (masse de N A atomes : C = 12 g, O = 16 g).
Solution.
1. DE = hn = hc/l = 4, 25 × 10
−20 J.
2. DE = E 1 − E 0 = v =
k/m ; d’où k = 18, 5 × 10
2 N m
−1 .