Exercices
97
4. Les vecteurs d’état |n x , n y , n z correspondent à une même valeur n :
n = n x + n y + n z
(11)
Le degré de dégénérescence g n de E n est donc égal au nombre d’ensembles {n x , n y , n z } différents que l’on peut former vérifiant la relation (11). Pour calculer g n , fixons n et choisissons
n x en lui donnant l’une des valeurs : n x = 0, 1, . . . , n. On a alors : n y + n z = n − n x et il y a
(n − n x + 1) ensembles de couples (n y , n z ) différents, à savoir :
{0, n − n x } ; {1, n − n x − 1} ; . . . ; {n − n x , 0}
(12)
La dégénérescence est donc égale à :
g n =
n
nx=0
(n − n x + 1) =
(n + 1) (n + 2)
2
(13)
Tous les niveaux sont dégénérés, sauf le niveau fondamental.
Exercice 4.2. Charge oscillante soumise à un champ électrique
Une particule de charge q et de masse m soumise à une force de rappel
F = −kx constitue un oscillateur harmonique linéaire. Celui-ci est plongé
dans un champ électrique uniforme
− →
E , parallèle à la direction Ox des oscillations.
1. Déterminer l’énergie potentielle d’interaction entre le champ et la
charge.
2. Déterminer les valeurs et vecteurs propres de l’oscillateur harmonique,
en réalisation−|x.
Solution.
1. La force électrostatique s’écrit : F e = qE. Choisissons une énergie potentielle nulle en
x = 0, d’où l’énergie électrique :
V(x) = −qE x
(1)
2. En réalisation−|x , l’équation de Schrödinger s’écrit :
−
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
mv
2 x
2
− qE x
c(x) = E c(x)
( 2 )
On peut grouper les termes en x
2 et x sous la forme :
1
2
mv
2 x
2
− qE x =
1
2
mv
2
x −
qE
mv 2
2
−
q
2 E
2
2mv 2
(3)
Effectuons le changement de variable suivant : y = x−(qE /mv
2 ). L’équation de Schrödinger
devient :
−
2
2m
d
2
dy 2 +
1
2
mv
2 y
2
c(y) =
E +
q
2 E
2
2mv 2
c(y)
( 4 )
C’est une équation de Schrödinger d’un oscillateur harmonique sans champ électrique et dont
les énergies conduisent aux valeurs :
E n = v
n +
1
2
−
q
2 E
2
2mv 2
(5)
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4. Les vecteurs d’état |n x , n y , n z correspondent à une même valeur n :
n = n x + n y + n z
(11)
Le degré de dégénérescence g n de E n est donc égal au nombre d’ensembles {n x , n y , n z } différents que l’on peut former vérifiant la relation (11). Pour calculer g n , fixons n et choisissons
n x en lui donnant l’une des valeurs : n x = 0, 1, . . . , n. On a alors : n y + n z = n − n x et il y a
(n − n x + 1) ensembles de couples (n y , n z ) différents, à savoir :
{0, n − n x } ; {1, n − n x − 1} ; . . . ; {n − n x , 0}
(12)
La dégénérescence est donc égale à :
g n =
n
nx=0
(n − n x + 1) =
(n + 1) (n + 2)
2
(13)
Tous les niveaux sont dégénérés, sauf le niveau fondamental.
Exercice 4.2. Charge oscillante soumise à un champ électrique
Une particule de charge q et de masse m soumise à une force de rappel
F = −kx constitue un oscillateur harmonique linéaire. Celui-ci est plongé
dans un champ électrique uniforme
− →
E , parallèle à la direction Ox des oscillations.
1. Déterminer l’énergie potentielle d’interaction entre le champ et la
charge.
2. Déterminer les valeurs et vecteurs propres de l’oscillateur harmonique,
en réalisation−|x.
Solution.
1. La force électrostatique s’écrit : F e = qE. Choisissons une énergie potentielle nulle en
x = 0, d’où l’énergie électrique :
V(x) = −qE x
(1)
2. En réalisation−|x , l’équation de Schrödinger s’écrit :
−
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
mv
2 x
2
− qE x
c(x) = E c(x)
( 2 )
On peut grouper les termes en x
2 et x sous la forme :
1
2
mv
2 x
2
− qE x =
1
2
mv
2
x −
qE
mv 2
2
−
q
2 E
2
2mv 2
(3)
Effectuons le changement de variable suivant : y = x−(qE /mv
2 ). L’équation de Schrödinger
devient :
−
2
2m
d
2
dy 2 +
1
2
mv
2 y
2
c(y) =
E +
q
2 E
2
2mv 2
c(y)
( 4 )
C’est une équation de Schrödinger d’un oscillateur harmonique sans champ électrique et dont
les énergies conduisent aux valeurs :
E n = v
n +
1
2
−
q
2 E
2
2mv 2
(5)