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4 • Oscillateur harmonique
3. Les opérateurs H x , H y , H z commutent entre eux et chacun commute avec H. En conséquence, on peut résoudre l’équation aux valeurs propres H|c = E|c en cherchant les vecteurs propres de H qui sont également vecteurs propres de H x , H y , H z .
Considérons un oscillateur à une dimension, se déplaçant selon la direction Ox, et notons |n x
les vecteurs d’état de ce système. On a :
h x |n x = v
n x +
1
2
|n x
(3)
où h x est l’hamiltonien opérant sur les vecteurs |n x qui engendrent l’espace vectoriel noté
E x . Pour des oscillateurs unidimensionnels vibrant selon les axes Oy et Oz, et d’hamiltoniens
respectifs h y et h z , nous noterons E y et E z les espaces vectoriels engendrés respectivement
par leurs vecteurs propres |n y et |n z . Formons l’espace produit tensoriel :
E r = E x ⊗ E y ⊗ E z
(4)
ayant pour base {|n x ⊗ |n y ⊗ |n z } et montrons que ces vecteurs de base sont des vecteurs
propres communs à H, H x , H y , H z .
Puisque l’opérateur H x dépend seulement de X et P x , c’est en fait le prolongement de l’opérateur h x agissant sur les vecteurs de E x et on peut faire des remarques analogues pour H y et
H z . On a donc les prolongements :
H x = h x ⊗ 1 1 yz ; H y = 1 1 x ⊗ h y ⊗ 1 1 z ; H z = 1 1 xy ⊗ h z
(5)
où les opérateurs unité 1 1 agissent sur les espaces indiqués en indice ; ces prolongements
possèdent les propriétés (2.1.42). Appliqués aux vecteurs |n x ⊗|n y ⊗|n z , les prolongements
donnent, par exemple, compte tenu de (3) :
H x |n x ⊗ |n y ⊗ |n z = (h x ⊗ 1 1 yz )|n x ⊗ |n y ⊗ |n z
= (h x |n x ) ⊗ |n y ⊗ |n z
= v
n x +
1
2
|n x ⊗ |n y ⊗ |n z
(6)
Les vecteurs de l’espace produit tensoriel E r sont des vecteurs propres de H x pour les mêmes
valeurs propres que celles de h x . On obtient des résultats analogues pour H y et H z , d’où :
H|n x ⊗ |n y ⊗ |n z = v
n x + n y + n z +
3
2
|n x ⊗ |n y ⊗ |n z
(7)
Les vecteurs propres de H sont les produits tensoriels des vecteurs propres de h x , h y , h z , et on
les note :
|n x , n y , n z = |n x ⊗ |n y ⊗ |n z
(8)
Les valeurs propres E n de H sont des sommes de valeurs propres des opérateurs H x , H y , H z ,
soit :
E n = v
n x + n y + n z +
3
2
= v
n +
3
2
(9)
où n = n x +n y +n z est un entier positif ou nul. En réalisation −|r, la fonction d’onde associée
à la valeur propre v(n x + n y + n z + (3/2)) est :
r|n x , n y , n z = c nx (x) c ny (y) c nz (z)
(10)
où les c n sont les fonctions d’onde stationnaires (4.4.13).
4 • Oscillateur harmonique
3. Les opérateurs H x , H y , H z commutent entre eux et chacun commute avec H. En conséquence, on peut résoudre l’équation aux valeurs propres H|c = E|c en cherchant les vecteurs propres de H qui sont également vecteurs propres de H x , H y , H z .
Considérons un oscillateur à une dimension, se déplaçant selon la direction Ox, et notons |n x
les vecteurs d’état de ce système. On a :
h x |n x = v
n x +
1
2
|n x
(3)
où h x est l’hamiltonien opérant sur les vecteurs |n x qui engendrent l’espace vectoriel noté
E x . Pour des oscillateurs unidimensionnels vibrant selon les axes Oy et Oz, et d’hamiltoniens
respectifs h y et h z , nous noterons E y et E z les espaces vectoriels engendrés respectivement
par leurs vecteurs propres |n y et |n z . Formons l’espace produit tensoriel :
E r = E x ⊗ E y ⊗ E z
(4)
ayant pour base {|n x ⊗ |n y ⊗ |n z } et montrons que ces vecteurs de base sont des vecteurs
propres communs à H, H x , H y , H z .
Puisque l’opérateur H x dépend seulement de X et P x , c’est en fait le prolongement de l’opérateur h x agissant sur les vecteurs de E x et on peut faire des remarques analogues pour H y et
H z . On a donc les prolongements :
H x = h x ⊗ 1 1 yz ; H y = 1 1 x ⊗ h y ⊗ 1 1 z ; H z = 1 1 xy ⊗ h z
(5)
où les opérateurs unité 1 1 agissent sur les espaces indiqués en indice ; ces prolongements
possèdent les propriétés (2.1.42). Appliqués aux vecteurs |n x ⊗|n y ⊗|n z , les prolongements
donnent, par exemple, compte tenu de (3) :
H x |n x ⊗ |n y ⊗ |n z = (h x ⊗ 1 1 yz )|n x ⊗ |n y ⊗ |n z
= (h x |n x ) ⊗ |n y ⊗ |n z
= v
n x +
1
2
|n x ⊗ |n y ⊗ |n z
(6)
Les vecteurs de l’espace produit tensoriel E r sont des vecteurs propres de H x pour les mêmes
valeurs propres que celles de h x . On obtient des résultats analogues pour H y et H z , d’où :
H|n x ⊗ |n y ⊗ |n z = v
n x + n y + n z +
3
2
|n x ⊗ |n y ⊗ |n z
(7)
Les vecteurs propres de H sont les produits tensoriels des vecteurs propres de h x , h y , h z , et on
les note :
|n x , n y , n z = |n x ⊗ |n y ⊗ |n z
(8)
Les valeurs propres E n de H sont des sommes de valeurs propres des opérateurs H x , H y , H z ,
soit :
E n = v
n x + n y + n z +
3
2
= v
n +
3
2
(9)
où n = n x +n y +n z est un entier positif ou nul. En réalisation −|r, la fonction d’onde associée
à la valeur propre v(n x + n y + n z + (3/2)) est :
r|n x , n y , n z = c nx (x) c ny (y) c nz (z)
(10)
où les c n sont les fonctions d’onde stationnaires (4.4.13).