Exercices
95
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0
2000
2100
2200
2300
cm
–1
ν
Figure 4.5
EXERCICES
Exercice 4.1. Oscillateur harmonique tridimensionnel isotrope
Un oscillateur harmonique est formé d’une particule de masse m pouvant
se déplacer dans l’espace à trois dimensions supposé isotrope. Cette masse
est soumise à une force centrale de rappel F = −kr, r étant le rayon vecteur
indiquant la position de la particule.
1. Déterminer l’énergie potentielle de la particule.
2. Écrire l’opérateur hamiltonien du système sous la forme d’une somme
de trois opérateurs indépendants.
3. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs d’état de l’oscillateur. En
déduire, en représentation −|r, les fonctions d’onde associées.
4. Calculer la dégénérescence des niveaux d’énergie.
Solution.
1. Le champ de forces dérive de l’énergie potentielle :
V(r) =
1
2
kr
2 =
1
2
mv
2
x
2 + y
2 + z
2
; v =
k
m
(1)
où l’on a supposé V(0) = 0.
2. L’hamiltonien classique est la somme des énergies cinétique et potentielle, d’où l’opérateur hamiltonien :
H =
1
2m
P
2
x + P
2
y + P
2
z
+
1
2
mv
2
X
2 + Y
2 + Z
2
= H x + H y + H z
(2)
avec H x =
P
2
x
2m
+
1
2
mv
2 X
2 et des définitions analogues pour H y et H z .