"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
I
EVOLUTION
TEMPORELLE -
POSTULATS(3)
Nous venons de voir que le processus de mesure affecte l'état du système de façon
stochastique et irréversible : c'est la réduction du paquet d'ondes. Si aucune mesure
n'est réalisée sur le système, son état quantique évolue au cours du temps. Cette évolution, parfaitement déterministe, est gouvernée par l'équation de Schrodinger (1.13).
Dans le membre de droite de cette dernière, nous reconnaissons l'opérateur hamiltoP2
2
nien, représentant l'énergie, H = 2 m + V(P) ~ -;m11 + V(P) (cf. exercice 3.5).
Nous pouvons donc écrire l'équation de Schrodinger à l'aide du formalisme de Dirac
présenté au chapitre précédent :
. d
In dt 11/f(t) ) = H 11/f(t))
(5.1)
L'intérêt de cette écriture et de ne plus rien spécifier ni sur la nature de la particule
(sa masse, sa charge, si la particule est relativiste ou non) ni même si le système
est constitué d'une ou plusieurs particules. Le rôle central joué par l'hamiltonien
(l'énergie) dans l' évolution temporelle doit être mis en relation avec le fait qu'il s' agit
de la quantité conservée lorsqu' un système est isolé (théorème de Nœther, annexe 1.B
et chapitre 6).
5.1 RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION
DE SCHRÔDINGER
5.1.1 Méthode générale
Nous rappelons la stratégie, rapidement décrite au chapitre 2, permettant de résoudre
l'équation (5.1) pour un potentiel indépendant du temps (le traitement des problèmes
dépendant du temps sera abordé au chapitre 15). La résolution de ce type d'équations
a été discutée dans un cours d' algèbre linéaire; il s'agit en effet de résoudre une équation ayant la structure : J 1 vecteur(t) = matrice x vecteur(t). Projetée dans une base
quelconque, l'équation (5.1) prend la forme d'un ensemble d'équations différentielles
89
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
I
EVOLUTION
TEMPORELLE -
POSTULATS(3)
Nous venons de voir que le processus de mesure affecte l'état du système de façon
stochastique et irréversible : c'est la réduction du paquet d'ondes. Si aucune mesure
n'est réalisée sur le système, son état quantique évolue au cours du temps. Cette évolution, parfaitement déterministe, est gouvernée par l'équation de Schrodinger (1.13).
Dans le membre de droite de cette dernière, nous reconnaissons l'opérateur hamiltoP2
2
nien, représentant l'énergie, H = 2 m + V(P) ~ -;m11 + V(P) (cf. exercice 3.5).
Nous pouvons donc écrire l'équation de Schrodinger à l'aide du formalisme de Dirac
présenté au chapitre précédent :
. d
In dt 11/f(t) ) = H 11/f(t))
(5.1)
L'intérêt de cette écriture et de ne plus rien spécifier ni sur la nature de la particule
(sa masse, sa charge, si la particule est relativiste ou non) ni même si le système
est constitué d'une ou plusieurs particules. Le rôle central joué par l'hamiltonien
(l'énergie) dans l' évolution temporelle doit être mis en relation avec le fait qu'il s' agit
de la quantité conservée lorsqu' un système est isolé (théorème de Nœther, annexe 1.B
et chapitre 6).
5.1 RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION
DE SCHRÔDINGER
5.1.1 Méthode générale
Nous rappelons la stratégie, rapidement décrite au chapitre 2, permettant de résoudre
l'équation (5.1) pour un potentiel indépendant du temps (le traitement des problèmes
dépendant du temps sera abordé au chapitre 15). La résolution de ce type d'équations
a été discutée dans un cours d' algèbre linéaire; il s'agit en effet de résoudre une équation ayant la structure : J 1 vecteur(t) = matrice x vecteur(t). Projetée dans une base
quelconque, l'équation (5.1) prend la forme d'un ensemble d'équations différentielles
89